2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задано k гладких функций. Показать, что поверхность Q гладка
Сообщение17.10.2024, 16:26 


14/11/21
52
Пусть $F_1, \ldots, F_k: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ - гладкие функции, $c_1, \ldots, c_k \in \mathbb{R}$ и $Q=\left\{x \in \mathbb{R}^n \mid F_1(x)=\right.$ $\left.c_1, \ldots, F_k(x)=c_k\right\} \neq \varnothing$. Пусть также градиенты функций $F_1, \ldots, F_k$ линейно независимы в каждой точке $Q$. Покажите, что $Q$ - гладкая регулярная поверхность размерности $n-k$. Докажите, что если $P \in Q$, то $T_P Q=\left\{v \in \mathbb{R}^n \mid\left(\left.\operatorname{grad} F_i\right|_P, v\right)=0 \forall i=1, \ldots, k\right\}$.

----------------------------------------------------
Я понимаю, что в этой задаче мне нужно использовать теорему о системе неявных функций.

Так понимаю, что из неё же следует размерность поверхности Q. Но не понимаю, как сделать промежуточные выводы

 Профиль  
                  
 
 Re: Задано k гладких функций. Показать, что поверхность Q гладка
Сообщение17.10.2024, 16:30 


21/12/16
721
дайте определение гладкой поверхности и касательного пространства

 Профиль  
                  
 
 Re: Задано k гладких функций. Показать, что поверхность Q гладка
Сообщение17.10.2024, 16:39 


14/11/21
52
drzewo

Были даны определения для $\mathbb{R}^3$ . Ну их понятно, как обобщить

Определение.
Гладкой регулярной параметризованной поверхностью в $\mathbb{R}^3$ будем называть отображение $\mathbf{r}: D \rightarrow \mathbb{R}^3$ некоторой области $D \subset \mathbb{R}^2$, удовлетворяющее двум условиям:
(i) отображение $\mathbf{r}$ является $C^{\infty}$-гладким в области $D$,
(ii) векторы $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}$ и $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ линейно независимы для всех $(u, v) \in D$.


Определение.
Пусть поверхность $\mathbf{r}(u, v)$ является гладкой и регулярной. В частности, по определению в каждой точке $(u, v) \in D$ векторы $\mathbf{r}_u(u, v)$ и $\mathbf{r}_v(u, v)$ линейно независимы. Kacaтельной плоскостью в точке $\mathbf{r}(u, v)$ называется двумерная плоскость, натянутая на векторы $\mathbf{r}_u(u, v)$ и $\mathbf{r}_v(u, v)$. Обратите внимание, из-за того, что поверхность задана параметрически, в каждой касательной плоскости к поверхности имеется выделенный базис $\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v$. Будем обозначать касательную плоскость к поверхности в точке $P$ через $T_P$.

-- 17.10.2024, 16:59 --

касательное пространство к
многообразию в точке – это векторное пространство, но обычно его изображают как
аффинное пространство.

-- 17.10.2024, 17:38 --

Протупила жёстко

Сейчас запишу решение

 Профиль  
                  
 
 Re: Задано k гладких функций. Показать, что поверхность Q гладка
Сообщение17.10.2024, 17:43 


14/11/21
52
Чтобы показать, что множество ( Q ) является гладкой регулярной поверхностью размерности ( n-k ), воспользуемся теоремой о неявной функции.

Мы имеем ( k ) гладких функций $$( F_1, \ldots, F_k: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} )$$ и константы $$( c_1, \ldots, c_k )$$. Множество ( Q ) определяется как:
$$[
Q = { x \in \mathbb{R}^n \mid F_1(x) = c_1, \ldots, F_k(x) = c_k }.
]$$
Предполагается, что градиенты $$( \nabla F_1, \ldots, \nabla F_k )$$ линейно независимы в каждой точке $$( P \in Q )$$.

Согласно теореме о неявной функции, если градиенты $$( \nabla F_1, \ldots, \nabla F_k )$$ линейно независимы в точке ( P ), то в окрестности точки ( P ) можно выразить ( k ) переменных через остальные ( n-k ) переменных. Это означает, что в окрестности ( P ) можно найти гладкие функции $$( g_1, \ldots, g_k )$$ такие, что:
$$[
F_i(x_1, x_2, \ldots, x_n) = c_i \quad \text{для } i = 1, \ldots, k,
]$$
где $$( x_1, \ldots, x_{n-k} )$$ являются независимыми переменными, а $$( x_{n-k+1}, \ldots, x_n )$$ могут быть выражены через них.

Таким образом, размерность множества ( Q ) равна:
$$[
n - k,
]$$
поскольку мы имеем ( n ) переменных и ( k ) уравнений, которые накладывают ограничения.

Теперь покажем, что касательное пространство $$( T_P Q )$$ в точке ( P ) определяется как:
$$[
T_P Q = { v \in \mathbb{R}^n \mid (\nabla F_i|_P, v) = 0 \text{ для всех } i = 1, \ldots, k }.
]$$

Пусть $$( v \in T_P Q )$$. Это означает, что ( v ) является касательным вектором к кривой, лежащей в ( Q ) и проходящей через ( P ). Если мы параметризуем эту кривую как $$( \gamma(t) )$$ с $$( \gamma(0) = P )$$ и $$( \gamma(t) \in Q )$$ для малых ( t ), то:
$$[
F_i(\gamma(t)) = c_i \quad \text{для всех } i.
]$$
Дифференцируя это уравнение по ( t ) и применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:
$$[
\frac{d}{dt} F_i(\gamma(t)) \bigg|_{t=0} = \nabla F_i|P \cdot \frac{d\gamma}{dt}\bigg|{t=0} = \nabla F_i|_P \cdot v = 0.
]$$
Это показывает, что ( v ) ортогонален к градиентам $$( \nabla F_i|_P )$$ для всех ( i ).

Таким образом, мы доказали, что:

Множество ( Q ) является гладкой регулярной поверхностью размерности ( n-k ).
Касательное пространство $$( T_P Q )$$ в точке ( P ) определяется как: $$[ T_P Q = { v \in \mathbb{R}^n \mid (\nabla F_i|_P, v) = 0 \text{ для всех } i = 1, \ldots, k }. ]$$

-- 17.10.2024, 17:43 --

drzewo
Это правильно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group