Задано k гладких функций. Показать, что поверхность Q гладка

[DariaRychenkova]

Пусть $F_1, \ldots, F_k: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ - гладкие функции, $c_1, \ldots, c_k \in \mathbb{R}$ и $Q=\left\{x \in \mathbb{R}^n \mid F_1(x)=\right.$ $\left.c_1, \ldots, F_k(x)=c_k\right\} \neq \varnothing$. Пусть также градиенты функций $F_1, \ldots, F_k$ линейно независимы в каждой точке $Q$. Покажите, что $Q$ - гладкая регулярная поверхность размерности $n-k$. Докажите, что если $P \in Q$, то $T_P Q=\left\{v \in \mathbb{R}^n \mid\left(\left.\operatorname{grad} F_i\right|_P, v\right)=0 \forall i=1, \ldots, k\right\}$.

----------------------------------------------------
Я понимаю, что в этой задаче мне нужно использовать теорему о системе неявных функций.

Так понимаю, что из неё же следует размерность поверхности Q. Но не понимаю, как сделать промежуточные выводы

[drzewo]

дайте определение гладкой поверхности и касательного пространства

[DariaRychenkova]

drzewo

Были даны определения для $\mathbb{R}^3$ . Ну их понятно, как обобщить

Определение.
Гладкой регулярной параметризованной поверхностью в $\mathbb{R}^3$ будем называть отображение $\mathbf{r}: D \rightarrow \mathbb{R}^3$ некоторой области $D \subset \mathbb{R}^2$, удовлетворяющее двум условиям:
(i) отображение $\mathbf{r}$ является $C^{\infty}$-гладким в области $D$,
(ii) векторы $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}$ и $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ линейно независимы для всех $(u, v) \in D$.


Определение.
Пусть поверхность $\mathbf{r}(u, v)$ является гладкой и регулярной. В частности, по определению в каждой точке $(u, v) \in D$ векторы $\mathbf{r}_u(u, v)$ и $\mathbf{r}_v(u, v)$ линейно независимы. Kacaтельной плоскостью в точке $\mathbf{r}(u, v)$ называется двумерная плоскость, натянутая на векторы $\mathbf{r}_u(u, v)$ и $\mathbf{r}_v(u, v)$. Обратите внимание, из-за того, что поверхность задана параметрически, в каждой касательной плоскости к поверхности имеется выделенный базис $\mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v$. Будем обозначать касательную плоскость к поверхности в точке $P$ через $T_P$.

-- 17.10.2024, 16:59 --

касательное пространство к
многообразию в точке – это векторное пространство, но обычно его изображают как
аффинное пространство.

-- 17.10.2024, 17:38 --

Протупила жёстко

Сейчас запишу решение

[DariaRychenkova]

Чтобы показать, что множество ( Q ) является гладкой регулярной поверхностью размерности ( n-k ), воспользуемся теоремой о неявной функции.

Мы имеем ( k ) гладких функций

$$( F_1, \ldots, F_k: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} )$$

и константы

$$( c_1, \ldots, c_k )$$

. Множество ( Q ) определяется как:

$$[ Q = { x \in \mathbb{R}^n \mid F_1(x) = c_1, \ldots, F_k(x) = c_k }. ]$$

Предполагается, что градиенты

$$( \nabla F_1, \ldots, \nabla F_k )$$

линейно независимы в каждой точке

$$( P \in Q )$$

.

Согласно теореме о неявной функции, если градиенты

$$( \nabla F_1, \ldots, \nabla F_k )$$

линейно независимы в точке ( P ), то в окрестности точки ( P ) можно выразить ( k ) переменных через остальные ( n-k ) переменных. Это означает, что в окрестности ( P ) можно найти гладкие функции

$$( g_1, \ldots, g_k )$$

такие, что:

$$[ F_i(x_1, x_2, \ldots, x_n) = c_i \quad \text{для } i = 1, \ldots, k, ]$$

где

$$( x_1, \ldots, x_{n-k} )$$

являются независимыми переменными, а

$$( x_{n-k+1}, \ldots, x_n )$$

могут быть выражены через них.

Таким образом, размерность множества ( Q ) равна:

$$[ n - k, ]$$

поскольку мы имеем ( n ) переменных и ( k ) уравнений, которые накладывают ограничения.

Теперь покажем, что касательное пространство

$$( T_P Q )$$

в точке ( P ) определяется как:

$$[ T_P Q = { v \in \mathbb{R}^n \mid (\nabla F_i|_P, v) = 0 \text{ для всех } i = 1, \ldots, k }. ]$$

Пусть

$$( v \in T_P Q )$$

. Это означает, что ( v ) является касательным вектором к кривой, лежащей в ( Q ) и проходящей через ( P ). Если мы параметризуем эту кривую как

$$( \gamma(t) )$$

с

$$( \gamma(0) = P )$$

и

$$( \gamma(t) \in Q )$$

для малых ( t ), то:

$$[ F_i(\gamma(t)) = c_i \quad \text{для всех } i. ]$$

Дифференцируя это уравнение по ( t ) и применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$$[ \frac{d}{dt} F_i(\gamma(t)) \bigg|_{t=0} = \nabla F_i|P \cdot \frac{d\gamma}{dt}\bigg|{t=0} = \nabla F_i|_P \cdot v = 0. ]$$

Это показывает, что ( v ) ортогонален к градиентам

$$( \nabla F_i|_P )$$

для всех ( i ).

Таким образом, мы доказали, что:

Множество ( Q ) является гладкой регулярной поверхностью размерности ( n-k ).
Касательное пространство

$$( T_P Q )$$

в точке ( P ) определяется как:

$$[ T_P Q = { v \in \mathbb{R}^n \mid (\nabla F_i|_P, v) = 0 \text{ для всех } i = 1, \ldots, k }. ]$$

-- 17.10.2024, 17:43 --

drzewo
Это правильно?