Чтобы показать, что множество ( Q ) является гладкой регулярной поверхностью размерности ( n-k ), воспользуемся теоремой о неявной функции.
Мы имеем ( k ) гладких функций
и константы
. Множество ( Q ) определяется как:
Предполагается, что градиенты
линейно независимы в каждой точке
.
Согласно теореме о неявной функции, если градиенты
линейно независимы в точке ( P ), то в окрестности точки ( P ) можно выразить ( k ) переменных через остальные ( n-k ) переменных. Это означает, что в окрестности ( P ) можно найти гладкие функции
такие, что:
где
являются независимыми переменными, а
могут быть выражены через них.
Таким образом, размерность множества ( Q ) равна:
поскольку мы имеем ( n ) переменных и ( k ) уравнений, которые накладывают ограничения.
Теперь покажем, что касательное пространство
в точке ( P ) определяется как:
Пусть
. Это означает, что ( v ) является касательным вектором к кривой, лежащей в ( Q ) и проходящей через ( P ). Если мы параметризуем эту кривую как
с
и
для малых ( t ), то:
Дифференцируя это уравнение по ( t ) и применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:
Это показывает, что ( v ) ортогонален к градиентам
для всех ( i ).
Таким образом, мы доказали, что:
Множество ( Q ) является гладкой регулярной поверхностью размерности ( n-k ).
Касательное пространство
в точке ( P ) определяется как:
-- 17.10.2024, 17:43 --drzewo Это правильно?