Взрывной интеграл

[paranoidandroid]

Дан интеграл $\int_{\Omega} \frac{dx_{1}dx_{2}dx_{3}}{|x-y|^{\alpha}}$ И надо оценить его сверху. $ 0<\alpha <3 $, $ \alpha \in R $ , $x=(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in \Omega $, и $\Omega \in R^{3}$ .

Мы можем найти ядро, ​​радиуса $R$, которое полностью покрывает $\Omega$ .

$\int_{\Omega} \frac{dx_{1}dx_{2}dx_{3}}{|x-y|^{\alpha}}$ < $\int_{B_{R}} \frac{dx_{1}dx_{2}dx_{3}}{|x-y|^{\alpha}}$

Но я не мог придумать, как поступить, когда $x \to y$ ? Может быть, мы сможем вырезать из этой области ядро ​​радиуса $\varepsilon$ и написать что

$\int_{\Omega} \frac{dx_{1}dx_{2}dx_{3}}{|x-y|^{\alpha}}$ < $\int_{B_{R}} \frac{dx_{1}dx_{2}dx_{3}}{|x-y|^{\alpha}}$ + $\int_{B_{\varepsilon}} \frac{dx_{1}dx_{2}dx_{3}}{|x-y|^{\alpha}}$ .

P.S.

Сферические координаты тоже не помогают

[dgwuqtj]

У вас $y$ фиксированная точка? Тогда сферические координаты должны помочь, если с началом координат в самой $y$.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Не все сферические координаты одинаково полезны

[drzewo]

paranoidandroid
А кто вас научил называть шар в $\mathbb{R}^3$ ядром? Просто любопытно. Так не говорят по русски, так не говорят по английски. Между прочим, в задачках с такими интегралами ядром называются совсем другие вещи. Так, что это не очень умная идея.

[paranoidandroid]

Я думаю, что да ($y= \operatorname{const}$). Если я правильно понял, сначала надо сделать параллельный перенос, затем сферические координаты..

$x_{1}=x'_{1}-y_{1} ; x_{2}=x'_{2}-y_{2} ; x_{3}=x'_{3}-y_{3}$

$I<\int_{B_{R}} \frac{dx_{1}'dx_{2}'dx_{3}'}{(\sqrt{(x_{1}')^{2}+(x_{2}')^{2}+(x_{3}')^{2}})^{\alpha}}=\int \frac{r^2 \sin^{2}(\theta)drd{\theta}d{\varphi}}{r^{{\alpha}}}=\int^{2\pi}_{0}d{\varphi} \int_{0}^{{\pi}/2} d {\theta} \int_{0}^{R}r^{2- \alpha}dr=\frac{{\pi}^{2}}{3- \alpha} {R}^{3- \alpha}$




-- 16.10.2024, 20:58 --

drzewo Да, у меня там опечатка, $B_{R} $ - Это сфера , радиуса R и с центром $y$.

[Утундрий]

paranoidandroid
С коэффициентом наврали. Синус зенитного угла там не во второй, а в первой степени.

[paranoidandroid]

(Оффтоп)

Утундрий Ах даа, .. у меня много опечаток но суть ясна

Большое спасибо за помощь.

[drzewo]

paranoidandroid в сообщении #1658768 писал(а):

а, $B_{R} $ - Это сфера ,

час от часу не легче

[Combat Zone]

(Оффтоп)

:mrgreen: как это было ожидаемо :)