2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Взрывной интеграл
Сообщение16.10.2024, 17:45 


09/07/20
133
Дан интеграл $\int_{\Omega} \frac{dx_{1}dx_{2}dx_{3}}{|x-y|^{\alpha}}$ И надо оценить его сверху. $ 0<\alpha <3 $, $ \alpha \in R $ , $x=(x_{1}, x_{2}, x_{3}) \in \Omega $, и $\Omega \in R^{3}$ .

Мы можем найти ядро, ​​радиуса $R$, которое полностью покрывает $\Omega$ .

$\int_{\Omega} \frac{dx_{1}dx_{2}dx_{3}}{|x-y|^{\alpha}}$ < $\int_{B_{R}} \frac{dx_{1}dx_{2}dx_{3}}{|x-y|^{\alpha}}$

Но я не мог придумать, как поступить, когда $x \to y$ ? Может быть, мы сможем вырезать из этой области ядро ​​радиуса $\varepsilon$ и написать что

$\int_{\Omega} \frac{dx_{1}dx_{2}dx_{3}}{|x-y|^{\alpha}}$ < $\int_{B_{R}} \frac{dx_{1}dx_{2}dx_{3}}{|x-y|^{\alpha}}$ + $\int_{B_{\varepsilon}} \frac{dx_{1}dx_{2}dx_{3}}{|x-y|^{\alpha}}$ .

P.S.

Сферические координаты тоже не помогают :facepalm: :facepalm: :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Взрывной интеграл
Сообщение16.10.2024, 19:17 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
У вас $y$ фиксированная точка? Тогда сферические координаты должны помочь, если с началом координат в самой $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взрывной интеграл
Сообщение16.10.2024, 20:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414

(Оффтоп)

Не все сферические координаты одинаково полезны :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Взрывной интеграл
Сообщение16.10.2024, 20:18 


21/12/16
721
paranoidandroid
А кто вас научил называть шар в $\mathbb{R}^3$ ядром? Просто любопытно. Так не говорят по русски, так не говорят по английски. Между прочим, в задачках с такими интегралами ядром называются совсем другие вещи. Так, что это не очень умная идея.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взрывной интеграл
Сообщение16.10.2024, 20:51 


09/07/20
133
Я думаю, что да ($y= \operatorname{const}$). Если я правильно понял, сначала надо сделать параллельный перенос, затем сферические координаты..

$x_{1}=x'_{1}-y_{1} ; x_{2}=x'_{2}-y_{2} ; x_{3}=x'_{3}-y_{3}$

$I<\int_{B_{R}} \frac{dx_{1}'dx_{2}'dx_{3}'}{(\sqrt{(x_{1}')^{2}+(x_{2}')^{2}+(x_{3}')^{2}})^{\alpha}}=\int \frac{r^2 \sin^{2}(\theta)drd{\theta}d{\varphi}}{r^{{\alpha}}}=\int^{2\pi}_{0}d{\varphi} \int_{0}^{{\pi}/2} d {\theta} \int_{0}^{R}r^{2- \alpha}dr=\frac{{\pi}^{2}}{3- \alpha} {R}^{3- \alpha}$


:shock: :?

-- 16.10.2024, 20:58 --

drzewo Да, у меня там опечатка, $B_{R} $ - Это сфера , радиуса R и с центром $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взрывной интеграл
Сообщение16.10.2024, 22:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
paranoidandroid
С коэффициентом наврали. Синус зенитного угла там не во второй, а в первой степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взрывной интеграл
Сообщение16.10.2024, 22:14 


09/07/20
133

(Оффтоп)

Утундрий Ах даа, .. у меня много опечаток :facepalm: но суть ясна :idea:

Большое спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взрывной интеграл
Сообщение17.10.2024, 16:30 


21/12/16
721
paranoidandroid в сообщении #1658768 писал(а):
а, $B_{R} $ - Это сфера ,

час от часу не легче

 Профиль  
                  
 
 Re: Взрывной интеграл
Сообщение17.10.2024, 16:44 


22/11/22
605

(Оффтоп)

:mrgreen: как это было ожидаемо :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group