2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Неопределенный интеграл особого вида
Сообщение17.10.2024, 10:48 


14/02/20
863
Допустим, у меня есть интеграл типа: $\int u'e^xdx$, где $u$ - некоторая дифференцируемая функция. Тогда:
$$\int u'e^xdx = ue^x-\int ue^xdx$$Откуда можно извлечь вот что: $$\int (u'+u)e^xdx=ue^x + C$$
Получается, что, взяв некоторую $u$, я могу сконструировать достаточно сложный интеграл, который непонятно, как именно брать. Конечно, если функция $u$ имеет особый вид, то все может быть очевидно (скажем, $\int\left(\frac 1{1+x^2}+\arctg x\right)e^xdx$), но если в особенности $u$ - рациональная дробь, то $u'+u$ можно привести к общему знаменателю и дальше совершенно непонятно, как этот интеграл брать, не зная $u$ заведомо.

Подскажите, какие тут могут быть пути? я говорю об "обычных" методах, а не типа универсальных алгоритмах интегрирования, конечно

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл особого вида
Сообщение17.10.2024, 11:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2316
МО
artempalkin в сообщении #1658796 писал(а):
непонятно, как именно брать

Почему? Первое слагаемое по частям, да и все.
artempalkin в сообщении #1658796 писал(а):
Подскажите, какие тут могут быть пути?

Так а какая цель этих манипуляций? Вы задачу для школьников составляете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл особого вида
Сообщение17.10.2024, 12:17 


14/02/20
863
пианист в сообщении #1658798 писал(а):
Почему? Первое слагаемое по частям, да и все.

Какое первое слагаемое? если я вас правильно понял, его нету же.
Например, такой интеграл: $\int \frac{1-x}{x^2}e^xdx$
Или вот такой: $\int\frac{x^2+x+1}{(x+1)^2}e^xdx$
Понятно, что можно угадать, чему равно $u$ исходя из конкретного вида выражения. Но есть ли более общий способ

-- 17.10.2024, 12:22 --

пианист в сообщении #1658798 писал(а):
Так а какая цель этих манипуляций? Вы задачу для школьников составляете?

Да нет, просто ради интереса. Вроде интеграл имеет простой вид, и составляется легко, можно сходу кучу таких придумать. А как брать - непонятно. Обычно если можно легко составить интеграл, то и взять его несложно (то есть если бы я придумал интеграл, стер себе память, и попытался его взять, то проблем бы обычно не возникло). А в данном случае что-то как-то не получается...

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл особого вида
Сообщение17.10.2024, 12:40 


05/09/16
12038
artempalkin
То есть вопрос в том, как быстро и просто решить уравнение
$y(x)+y'(x)=g(x)$ если $g(x)$ - дробно-рациональная функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл особого вида
Сообщение17.10.2024, 12:51 


14/02/20
863
wrest
Ну можно сказать и так. Кстати, если $g(x)$ - ДРФ от тригонометрических функций, то получается та же чехарда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл особого вида
Сообщение17.10.2024, 13:32 


22/11/22
605
artempalkin в сообщении #1658799 писал(а):
Например, такой интеграл: $\int \frac{1-x}{x^2}e^xdx$
Или вот такой: $\int\frac{x^2+x+1}{(x+1)^2}e^xdx$

Можно какой-то пример, в котором действительно требовалось бы что-то угадывать или придумывать более общие способы? Пока все спокойно считается и так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл особого вида
Сообщение17.10.2024, 14:43 


14/02/20
863
Combat Zone в сообщении #1658807 писал(а):
Пока все спокойно считается и так.

А как "так"?
У меня ощущение, что все очевидно, и только я не понимаю, как считать такие интегралы :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл особого вида
Сообщение17.10.2024, 15:01 


22/11/22
605
artempalkin
какой посчитать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл особого вида
Сообщение17.10.2024, 15:02 


14/02/20
863
Combat Zone
artempalkin в сообщении #1658799 писал(а):
$\int \frac{1-x}{x^2}e^xdx$

ну вот этот, если можно

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл особого вида
Сообщение17.10.2024, 15:14 


22/11/22
605
$\int \frac{1-x}{x^2}e^xdx=\int \frac{e^x}{x^2}\,dx -  \int \frac{e^x}{x}\, dx = - \frac{e^x}{x}+C$
Первый интеграл в разности считался по частям.
Второй ваш интеграл с дробью решается теми же методами - раскладываем в сумму простейших, смотрим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл особого вида
Сообщение17.10.2024, 15:21 


14/02/20
863
Combat Zone
Я вас понял. Но это то же самое угадание все же. Разницы между тем, что вы сделали, и просто с ходу угадыванием $u$, как вы понимаете, нет никакой. Угадать $u$ и "разрезать" $u'+u$ на $u'$ и $u$ - это одно и то же.
Я не осуждаю и не обвиняю, просто констатирую :) то есть это не общий способ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл особого вида
Сообщение17.10.2024, 15:25 


22/11/22
605
artempalkin
Так всегда можно сказать. Можно сказать и что в общем случае вычисление первообразной это всегда в большой мере угадывание. Хотя я не режу на функцию и производную, я о них не имею понятия, особенно во втором случае.

И потому я и говорю - предложите интеграл, где вы не сможете сказать, что что-то угадывалось. Где решение не будет "не общим способом".

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл особого вида
Сообщение17.10.2024, 15:44 


14/02/20
863
Combat Zone
$$\int \frac{1+\sin x}{1+\cos x}e^xdx$$ - вроде этот

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл особого вида
Сообщение17.10.2024, 16:10 


22/11/22
605
Да, этот интереснее. Тригонометрия всегда интереснее. Мне в голову не приходило угадывать вид $u+u'$, но думаю, вы опять меня заподозрите в этом :)

Мои действия - преобразовать дробь перед экспонентой, она красивая. Получится $\frac 12 (\tg \frac  x2+1)^2 = \frac{1}{2\cos^2 x/2}+ \tg \frac x2$.

Ой )

 Профиль  
                  
 
 Re: Неопределенный интеграл особого вида
Сообщение17.10.2024, 16:12 


14/02/20
863
Combat Zone в сообщении #1658825 писал(а):
Мои действия

Да, мои тоже. Но все же... видите, результат как бы получается "случайно". Нельзя назвать этот метод последовательным... В общем, вердикт в том, что, видимо, последовательного метода тут нет...

-- 17.10.2024, 16:14 --

Combat Zone в сообщении #1658825 писал(а):
Мне в голову не приходило угадывать вид $u+u'$, но думаю, вы опять меня заподозрите в этом :)

Э, да, после нашего пространного диалога на эту тему, и учитывая, что этот пример согласно уговору как раз на эту тему, вы совершенно случайно стали приводить к виду $u'+u$ :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group