2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Тело в координатном пространстве
Сообщение16.10.2024, 13:00 


28/03/21
217
Здраствуйте.
Решаю задачи из сборника и застряла вот на такой:
Collection of problems in advanced mathematics, Technion, 2011 писал(а):
Problem 10.109
For each $n\in \mathbb{N}$ a body $F_n$ in coordinate space is defined by the inequality $3|x|^n+|8y|^n+|z|^n<1$, and body $F$ is the union of all bodies $F_n$.
Find the volume of the body $F$

Я правильно понимаю, что нужно доказать, что $\forall x, y, z$ таких что $|x|<1, |y|<0.125, |z|<1$ найдется такое $n$, что неравенство в условии выполняется? Или я что-то путаю?
Но в любом случае прежде чем приступать к доказательству, хотелось бы знать, какое это тело $F$? А это я даже представить себе не могу.
Можете подтолкнуть к решению?
И еще чисто технический вопрос. Могу ли я вот эту фразу:
Цитата:
body $F$ is the union of all bodies $F_n$
записать символически как $F= \bigcup F_n$?
Ведь это символ обьединения множеств, а тут не множества, а какие-то пространственные тела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело в координатном пространстве
Сообщение16.10.2024, 13:12 


08/05/08
600
Gepidium в сообщении #1658745 писал(а):
Я правильно понимаю, что нужно доказать, что $\forall x, y, z$ таких что $|x|<1, |y|<0.125, |z|<1$ найдется такое $n$, что неравенство в условии выполняется?

Мне тоже так кажется
Gepidium в сообщении #1658745 писал(а):
Но в любом случае прежде чем приступать к доказательству, хотелось бы знать, какое это тело $F$? А это я даже представить себе не могу.
?.... Вы же только что написали....
Gepidium в сообщении #1658745 писал(а):
Могу ли я вот эту фразу: .... записать символически как $F= \bigcup F_n$?
Ведь это символ обьединения множеств, а тут не множества, а какие-то пространственные тела.

Я бы написал. Ведь эти пространственные тела состоят из точек, то есть являются множествами точек

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело в координатном пространстве
Сообщение16.10.2024, 13:32 


05/09/16
12038
Gepidium в сообщении #1658745 писал(а):
Я правильно понимаю, что нужно доказать, что $\forall x, y, z$ таких что $|x|<1, |y|<0.125, |z|<1$

При переписывании условия, видимо, произошла ошибка. В условии $y$ не фигурирует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело в координатном пространстве
Сообщение16.10.2024, 13:44 


28/03/21
217
wrest в сообщении #1658748 писал(а):
При переписывании условия, видимо, произошла ошибка. В условии $y$ не фигурирует.
wrest
Точно, мой косяк. Исправила в стартовом посте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело в координатном пространстве
Сообщение16.10.2024, 13:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Gepidium в сообщении #1658745 писал(а):
Я правильно понимаю, что нужно доказать, что $\forall x, y, z$ таких что $|x|<1, |y|<0.125, |z|<1$ найдется такое $n$, что неравенство в условии выполняется?
И, что не менее важно, надо доказать (или хотя бы отметить), что если хотя бы одно из неравенств $|x|<1, |y|<0.125, |z|<1$ нарушается, то неравенство $3|x|^n+|8y|^n+|z|^n<1$ не выполняется ни при каком натуральном $n$ (иначе точка $(x,y,z)$ войдёт в фигуру $F$).
Gepidium в сообщении #1658745 писал(а):
как $F= \bigcup F_n$
Можно ещё написать $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} F_n$. И да, фигура — множество точек, поэтому выражение union of bodies понимается автоматически, без дополнительных определений.
Gepidium в сообщении #1658745 писал(а):
а тут не множества, а какие-то пространственные тела
В математике трёхмерное пространство $\mathbb R^3$ — это не нечто, где можно гулять, строить дома и даже летать, а всего лишь множество всевозможных упорядоченных троек вещественных чисел. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело в координатном пространстве
Сообщение16.10.2024, 14:19 


28/03/21
217
ET в сообщении #1658746 писал(а):
Gepidium в сообщении #1658745 писал(а):
Но в любом случае прежде чем приступать к доказательству, хотелось бы знать, какое это тело $F$? А это я даже представить себе не могу.
?.... Вы же только что написали....
ET, параллелепипед?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело в координатном пространстве
Сообщение16.10.2024, 14:41 


08/05/08
600
Gepidium Да еще и прямоугольный!

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело в координатном пространстве
Сообщение16.10.2024, 16:17 


28/03/21
217
Gepidium в сообщении #1658753 писал(а):
параллелепипед?
ET в сообщении #1658754 писал(а):
Да еще и прямоугольный!
Теперь уже понятно, только как доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело в координатном пространстве
Сообщение16.10.2024, 16:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
При $|x|<1$ найдётся такое $n_1$, что при всех $n\geqslant n_1$ будет $|x|^n<\frac 1 5$
Аналогично, при $|8y|<1$ найдётся такое $n_2$, что при всех $n\geqslant n_2$ будет $|8y|^n<\frac 1 5$
Аналогично, ...

Значит, при $n\geqslant \max(n_1, n_2, n_3)$ будет
$3|x|^n+|8y|^n+|z|^n<...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело в координатном пространстве
Сообщение16.10.2024, 17:44 


28/03/21
217
svv в сообщении #1658757 писал(а):
При $|x|<1$ найдётся такое $n_1$, что при всех $n\geqslant n_1$ будет $|x|^n<\frac 1 5$
svv
А вы не ошиблись? Мне кажется, что будет $|x|^n<\dfrac 3 5$.Там же в исходном неравенстве коэффициент $3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело в координатном пространстве
Сообщение16.10.2024, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
svv в сообщении #1658757 писал(а):
начит, при $n\geqslant \max(n_1, n_2, n_3)$ будет
$3|x|^n+|8y|^n+|z|^n<...$
$3|x|^n+|8y|^n+|z|^n<3\cdot\frac 1 5+\frac 1 5+\frac 1 5=1$
Вот почему одна пятая была взята.

-- Ср окт 16, 2024 17:02:33 --

Gepidium в сообщении #1658759 писал(а):
Мне кажется, что будет $|x|^n<\dfrac 3 5$.Там же в исходном неравенстве коэффициент $3$.
Ну, если $|x|^n<\frac 1 5$, то с коэффициентом $3$ как раз и будет $3|x|^n<\frac 3 5$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело в координатном пространстве
Сообщение16.10.2024, 18:51 


28/03/21
217
svv
Проверьте, я правильно поняла Вашу логику?
Мы сделаем так, чтобы $3|x|^n<\dfrac 3 5,~ |8y|^n<\dfrac 1 5,~ |z|^n<\dfrac 1 5$~~~~~~~~~~~~(1)

Это будет при $n>\dfrac {\ln{\dfrac 1 5}}{\ln{|x|}},~n>\dfrac {\ln{\dfrac 1 5}}{\ln{|8y|}},~n>\dfrac {\ln{\dfrac 1 5}}{\ln{|z|}}~~~~~~~(2)$

Если хотя бы одно из условий $(1)$ не выполняется, тогда в левой части исходного неравенства есть слагаемое, не меньше $1$.
А это значит, что фигура $F$ представляет собой координатный параллелепипед $2\times 0.25\times 2$, и его обьем равен $1$.
Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело в координатном пространстве
Сообщение16.10.2024, 23:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Да, правильно.

Конечно, именно число $\frac 1 5$ использовать не обязательно. Можно, например, заменить $\frac 1 5$ на $\frac 1{10}$. Либо вообще потребовать выполнения странных условий
$|x|^n<0.001, |8y|^n<\frac 1{19}, |z|^n<0.42$
И если $|x|<1, |8y|<1, |z|<1$, то при некотором $n$ удовлетворятся и эти три странные условия, из чего также будет следовать $3|x|^n+|8y|^n+|z|^n<1$.

Просто мне с $\frac 1 5$ показалось симпатичным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело в координатном пространстве
Сообщение16.10.2024, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
svv
Вообще-то задача строится на вычислении $\lim \limits_{n \to \infty} {|x|^n}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тело в координатном пространстве
Сообщение17.10.2024, 12:40 


28/03/21
217
svv
Большое спасибо за помощь. Я тут на форуме видела дискуссию, нужны или не нужны лайки. Независимо от результатов дискуссии ставлю вам 2 (два) лайка!!
Единственное, что для меня осталось невыясненным и немного беспокоит, это вот что.
Доказательство в принципе понятно. Но ведь неравенство в условии строгое, и тогда получается, что прямые $x=\pm 1,~y=\pm 0.25,~z=\pm 1$ не принадлежат параллелепипеду.
А ведь если мы берем параллелепипед, у которого ребром является, к примеру, часть прямой $x=1$, то мы считаем, что отрезок этой прямой принадлежит этому параллелепипеду. Ведь так?
Т.е. здесь получается, что искомый обьем не равен $1$, а только будет стремиться к $1$. Я не права?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group