Тело в координатном пространстве

[Gepidium]

Здраствуйте.
Решаю задачи из сборника и застряла вот на такой:

Collection of problems in advanced mathematics, Technion, 2011 писал(а):

Problem 10.109
For each $n\in \mathbb{N}$ a body $F_n$ in coordinate space is defined by the inequality $3|x|^n+|8y|^n+|z|^n<1$, and body $F$ is the union of all bodies $F_n$.
Find the volume of the body $F$

Я правильно понимаю, что нужно доказать, что $\forall x, y, z$ таких что $|x|<1, |y|<0.125, |z|<1$ найдется такое $n$, что неравенство в условии выполняется? Или я что-то путаю?
Но в любом случае прежде чем приступать к доказательству, хотелось бы знать, какое это тело $F$? А это я даже представить себе не могу.
Можете подтолкнуть к решению?
И еще чисто технический вопрос. Могу ли я вот эту фразу:

Цитата:

body $F$ is the union of all bodies $F_n$

записать символически как $F= \bigcup F_n$?
Ведь это символ обьединения множеств, а тут не множества, а какие-то пространственные тела.

[ET]

Gepidium в сообщении #1658745 писал(а):

Я правильно понимаю, что нужно доказать, что $\forall x, y, z$ таких что $|x|<1, |y|<0.125, |z|<1$ найдется такое $n$, что неравенство в условии выполняется?

Мне тоже так кажется

Gepidium в сообщении #1658745 писал(а):

Но в любом случае прежде чем приступать к доказательству, хотелось бы знать, какое это тело $F$? А это я даже представить себе не могу.

?.... Вы же только что написали....

Gepidium в сообщении #1658745 писал(а):

Могу ли я вот эту фразу: .... записать символически как $F= \bigcup F_n$?
Ведь это символ обьединения множеств, а тут не множества, а какие-то пространственные тела.

Я бы написал. Ведь эти пространственные тела состоят из точек, то есть являются множествами точек

[wrest]

Gepidium в сообщении #1658745 писал(а):

Я правильно понимаю, что нужно доказать, что $\forall x, y, z$ таких что $|x|<1, |y|<0.125, |z|<1$

При переписывании условия, видимо, произошла ошибка. В условии $y$ не фигурирует.

[Gepidium]

wrest в сообщении #1658748 писал(а):

При переписывании условия, видимо, произошла ошибка. В условии $y$ не фигурирует.

wrest
Точно, мой косяк. Исправила в стартовом посте.

[svv]

Gepidium в сообщении #1658745 писал(а):

Я правильно понимаю, что нужно доказать, что $\forall x, y, z$ таких что $|x|<1, |y|<0.125, |z|<1$ найдется такое $n$, что неравенство в условии выполняется?

И, что не менее важно, надо доказать (или хотя бы отметить), что если хотя бы одно из неравенств $|x|<1, |y|<0.125, |z|<1$ нарушается, то неравенство $3|x|^n+|8y|^n+|z|^n<1$ не выполняется ни при каком натуральном $n$ (иначе точка $(x,y,z)$ войдёт в фигуру $F$).

Gepidium в сообщении #1658745 писал(а):

как $F= \bigcup F_n$

Можно ещё написать $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} F_n$. И да, фигура — множество точек, поэтому выражение union of bodies понимается автоматически, без дополнительных определений.

Gepidium в сообщении #1658745 писал(а):

а тут не множества, а какие-то пространственные тела

В математике трёхмерное пространство $\mathbb R^3$ — это не нечто, где можно гулять, строить дома и даже летать, а всего лишь множество всевозможных упорядоченных троек вещественных чисел.

[Gepidium]

ET в сообщении #1658746 писал(а):

Gepidium в сообщении #1658745 писал(а):

Но в любом случае прежде чем приступать к доказательству, хотелось бы знать, какое это тело $F$? А это я даже представить себе не могу.

?.... Вы же только что написали....

ET, параллелепипед?

[ET]

Gepidium Да еще и прямоугольный!

[Gepidium]

Gepidium в сообщении #1658753 писал(а):

параллелепипед?

ET в сообщении #1658754 писал(а):

Да еще и прямоугольный!

Теперь уже понятно, только как доказать?

[svv]

При $|x|<1$ найдётся такое $n_1$, что при всех $n\geqslant n_1$ будет $|x|^n<\frac 1 5$
Аналогично, при $|8y|<1$ найдётся такое $n_2$, что при всех $n\geqslant n_2$ будет $|8y|^n<\frac 1 5$
Аналогично, ...

Значит, при $n\geqslant \max(n_1, n_2, n_3)$ будет
$3|x|^n+|8y|^n+|z|^n<...$

[Gepidium]

svv в сообщении #1658757 писал(а):

При $|x|<1$ найдётся такое $n_1$, что при всех $n\geqslant n_1$ будет $|x|^n<\frac 1 5$

svv
А вы не ошиблись? Мне кажется, что будет $|x|^n<\dfrac 3 5$.Там же в исходном неравенстве коэффициент $3$.

[svv]

svv в сообщении #1658757 писал(а):

начит, при $n\geqslant \max(n_1, n_2, n_3)$ будет
$3|x|^n+|8y|^n+|z|^n<...$

$3|x|^n+|8y|^n+|z|^n<3\cdot\frac 1 5+\frac 1 5+\frac 1 5=1$
Вот почему одна пятая была взята.

-- Ср окт 16, 2024 17:02:33 --

Gepidium в сообщении #1658759 писал(а):

Мне кажется, что будет $|x|^n<\dfrac 3 5$.Там же в исходном неравенстве коэффициент $3$.

Ну, если $|x|^n<\frac 1 5$, то с коэффициентом $3$ как раз и будет $3|x|^n<\frac 3 5$.

[Gepidium]

svv
Проверьте, я правильно поняла Вашу логику?
Мы сделаем так, чтобы $3|x|^n<\dfrac 3 5,~ |8y|^n<\dfrac 1 5,~ |z|^n<\dfrac 1 5$~~~~~~~~~~~~(1)

Это будет при $n>\dfrac {\ln{\dfrac 1 5}}{\ln{|x|}},~n>\dfrac {\ln{\dfrac 1 5}}{\ln{|8y|}},~n>\dfrac {\ln{\dfrac 1 5}}{\ln{|z|}}~~~~~~~(2)$

Если хотя бы одно из условий $(1)$ не выполняется, тогда в левой части исходного неравенства есть слагаемое, не меньше $1$.
А это значит, что фигура $F$ представляет собой координатный параллелепипед $2\times 0.25\times 2$, и его обьем равен $1$.
Правильно?

[svv]

Да, правильно.

Конечно, именно число $\frac 1 5$ использовать не обязательно. Можно, например, заменить $\frac 1 5$ на $\frac 1{10}$. Либо вообще потребовать выполнения странных условий
$|x|^n<0.001, |8y|^n<\frac 1{19}, |z|^n<0.42$
И если $|x|<1, |8y|<1, |z|<1$, то при некотором $n$ удовлетворятся и эти три странные условия, из чего также будет следовать $3|x|^n+|8y|^n+|z|^n<1$.

Просто мне с $\frac 1 5$ показалось симпатичным.

[Утундрий]

svv
Вообще-то задача строится на вычислении $\lim \limits_{n \to \infty} {|x|^n}$

[Gepidium]

svv
Большое спасибо за помощь. Я тут на форуме видела дискуссию, нужны или не нужны лайки. Независимо от результатов дискуссии ставлю вам 2 (два) лайка!!
Единственное, что для меня осталось невыясненным и немного беспокоит, это вот что.
Доказательство в принципе понятно. Но ведь неравенство в условии строгое, и тогда получается, что прямые $x=\pm 1,~y=\pm 0.25,~z=\pm 1$ не принадлежат параллелепипеду.
А ведь если мы берем параллелепипед, у которого ребром является, к примеру, часть прямой $x=1$, то мы считаем, что отрезок этой прямой принадлежит этому параллелепипеду. Ведь так?
Т.е. здесь получается, что искомый обьем не равен $1$, а только будет стремиться к $1$. Я не права?