Тривиум Арнольда, задача 10

[Ende]

Markiyan Hirnyk
Очередной бан на месяц за очередное же применение матпакета к олимпиадной/учебной задаче.

[mihiv]

nnosipov в сообщении #1658360 писал(а):

Это утверждение эквивалентно ВТФ для показателя $4$

А как это получается?

[Shadow]

mihiv в сообщении #1658611 писал(а):

А как это получается?

$d^2=u^3-u$

При $u=\frac x y,d=\frac z y$ после умножения на $y^4$ получается $(yz)^2=xy(x^2-y^2)$, что из -за взаимнопростоты $x,y,x^2-y^2$ сводится к $c^2=a^4-b^4$

[mihiv]

Shadowспасибо. То есть, доказано, что если ВТФ для $n=4$ верна, то уравнение $d^2=u^3-u\eqno (1)$ не имеет нетрив. рациональных решений, но обратное утверждение может быть неверно.

[nnosipov]

mihiv
Я там не совсем точно выразился. Нужно было так: утверждение об отсутствии нетривиальных рациональных точек на кривой $d^2=u^3-u$ равносильно утверждению о неразрешимости уравнения $x^4-y^4=z^2$ в натуральных числах. (Здесь равносильность утверждений следует понимать как возможность вывести каждое из них из другого.) Утверждение о неразрешимости уравнения $x^4-y^4=z^2$ в натуральных числах сильнее ВТФ для показателя $4$ в том смысле, что если мы его доказали, то ВТФ для показателя $4$ получаем как следствие.