Распределение взаимнопростых чисел в примориалах.

[Soul Friend]

ну, не знаю, по крайней мере для первой формулы нужно условие $p_i>2$ , иначе поделите на ноль, или начать с $i=2$ .

[Батороев]

Soul Friend
Спасибо за Ваше замечание!
Конечно же упустил, что все рассуждения веду, начиная с $i=2$.

(Оффтоп)

Когда долго чем-то занимаюсь, вживаюсь в это и упускаю. Водится за мной такое.

-- 21 янв 2024 13:02 --

Тема старая, а потому не редактируемая. Исправить в тексте не могу.

[Батороев]

Вопрос:
Если функция Эйлера $\varphi_{1}={\prod\limits_{i=1}^t (p_{i}-1)}$ определяет количество чисел, псевдопростых к примориалу $p_{t}\#$,
а функция $\varphi_{2}=\prod\limits_{i=1}^t(p_{i}-2)$ - количество пар чисел-близнецов, псевдопростых этому же примориалу,
то имеет ли предел отношение: $\dfrac {\varphi_{1}}{\varphi_{2}}$ и, если "Да", то какова его величина?

[Батороев]

Поправка: начиная с $i=2$.

[Батороев]

Батороев в сообщении #1528321 писал(а):

Составил формулу приблизительного расчета количества простых-близнецов до $n$:

$$\pi_{2}(n)=\dfrac {1,319\cdot n}{(\ln {n}-\frac {e^3+1}{e^3})^2}$$

где $n$ - натуральное число.

Перепишу в привычном (для себя) виде завсимость количества простых чисел-близнецов $\pi_{2} (n)$ от количества простых чисел $\pi (n)$ для $n>80000$:

$$\pi_{2}(n)=(1,31...1,333)\frac {{\pi (n)}^2}{ n}$$

[Батороев]

Предполагаю, что с ростом $n$ указанный диапазон $(1,31...1$,333)$ будет сужаться и формулу можно переписать:

$$\pi_{2}(n) \approx \dfrac {1}{2}\cdot W\cdot \dfrac{\pi(n)^2}{n}$$

,
где $W=\lim \prod\limits_{i=2}^{t}\left(\dfrac{p_i^2}{(p_i-2)\cdot (p_i+2)}\right)\approx 2.641306...$,
$t$ - порядковый номер простого числа, не превосходящего $n$.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1691452 писал(а):

где $W=\lim \prod\limits_{i=2}^{t}\left(\dfrac{p_i^2}{(p_i-2)\cdot (p_i+2)}\right)\approx 2.641306...$

Константа несколько больше:

? prodeuler(p=3,1e10, p^2/(p-2)/(p+2))
%1 = 2.64131423...

А на самом деле она равна вообще $4C_2=2.640647263387478295711248440...$, потому что подставляя $\pi(n)=\frac{n}{\ln(n)}$ в вашу формулу получим классическую:

$$\pi_2(n)=\frac{1}{2}W\frac{\pi(n)^2}{n}=\frac{1}{2}W\frac{\left(\frac{n}{\ln(n)}\right)^2}{n}=\frac{1}{2}W\frac{n}{\ln(n)^2}=2C_2\frac{n}{\ln(n)^2}$$

в которой вся константа перед дробью равна $2C_2=1.3203236316937391478556242200...$.

Т.е. вы фактически лишь ухудшили (всего до 3 значащих цифр!) известный классический результат, константа в котором известна с точностью более 5 тысяч цифр.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1691466 писал(а):

Константа несколько больше:

Мои вычислительные возмождности достаточно скудны. (
Ввел ваше значение в свои расчеты и практически ничего не изменилось. Например, для $n =100493$ было $\pi_{2}=1219,23055$
(фактически $1227$ - погрешность -0,6%), стало $1219,23441$.

[/quote]

Dmitriy40 в сообщении #1691466 писал(а):

А на самом деле она равна вообще $4C_2=2.640647263387478295711248440...$, потому что подставляя $\pi(n)=\frac{n}{\ln(n)}$ в вашу формулу получим классическую:

$$\pi_2(n)=\frac{1}{2}W\frac{\pi(n)^2}{n}=\frac{1}{2}W\frac{\left(\frac{n}{\ln(n)}\right)^2}{n}=\frac{1}{2}W\frac{n}{\ln(n)^2}=2C_2\frac{n}{\ln(n)^2}$$

По-видимому, Ваши формулы предназачены для расчета числа простых чисел-близнецов для достаточно больших $n$.
Я же хотел разобраться "на пальцах", поэтому не стал вникать, как рассчитывается число простых чисел до $n$, а принял за основу, что это число известно. Т.е. можно ли, зная число простых чисел , рассчитать число простых чисел-близнецов на этом же диапазоне?

[Yadryara]

Батороев, а Вы в кортежные темы вообще не заглядываете что ли? Ведь близнецы это тоже кортеж.

Пока известное наилучшее приближение, это приближение по HL1:

$$\pi_2(x)\approx1.320323\int\limits_{2}^{x}\frac{dt}{\ln^2t}$$

[Батороев]

Yadryara в сообщении #1691583 писал(а):

Батороев, а Вы в кортежные темы вообще не заглядываете что ли? Ведь близнецы это тоже кортеж.

Для меня в указанной теме многое не понятно. Изредка заглядываю, "яки баран на новые ворота".

Yadryara в сообщении #1691583 писал(а):

Пока известное наилучшее приближение, это приближение по HL1:

$$\pi_2(x)\approx1.320323\int\limits_{2}^{x}\frac{dt}{\ln^2t}$$

В формулах с логарифмами я не вижу связи с простыми числами. Если это приближение, то я не "спортсмен", который хочет получить еще большее приближение.
Опять же, почему за основание логарифма при подсчете числа простых принято число $e$, а не, допустим, число $3,016$?

-- 21 июн 2025 14:57 --

С последним своим вопросом разобрался.

[Yadryara]

Батороев в сообщении #1691589 писал(а):

Для меня в указанной теме многое не понятно. Изредка заглядываю, "яки баран на новые ворота".

Приходите, спрашивайте, ждём-с.

Батороев в сообщении #1691589 писал(а):

В формулах с логарифмами я не вижу связи с простыми числами.

Приплыли. "Простую одержимость" Дербишира читали? Там об этом подробнейшим образом рассказывается.

Батороев в сообщении #1691589 писал(а):

Если это приближение, то я не "спортсмен", который хочет получить еще большее приближение.

А кто Вы? То есть что Вы хотите получить? Лучшее приближение не хотите, а хотите худшее ?

[Батороев]

Yadryara в сообщении #1691597 писал(а):

Приходите, спрашивайте, ждём-с.

Мне бы со своими наработками разобраться.

Yadryara в сообщении #1691597 писал(а):

Приплыли. "Простую одержимость" Дербишира читали? Там об этом подробнейшим образом рассказывается.

В основе моего хобби (увлечения ТЧ) лежит принцип, который я некогда сам себе задал - не читать учебники, а разбираться самостоятельно.

Yadryara в сообщении #1691597 писал(а):

А кто Вы? То есть что Вы хотите получить? Лучшее приближение не хотите, а хотите худшее ?

У Вас типичный взгляд "спортсмена" на занятия "спортом любителем ради удовольствия".
А хочу я не "худшее", а "самостоятельное".

[Yadryara]

Батороев, стремление разобраться самостоятельно вызывает во мне большое уважение к Вам.

Но, с другой стороны, неплохо бы двигаться вперёд. То есть изучить то, что уже придумано и попытаться найти новое. Переоткрывать хорошо известное старое необязательно.

Ну в самом деле, поставьте себя на место других людей. Вы, к примеру, публично сообщаете о том, что смогли самостоятельно вычислить, что окружность длиннее своего диаметра примерно в 3.14159 раза. Надо же, вот оно чё, Михалыч, а мы-то и не знали.

[Батороев]

Yadryara в сообщении #1691719 писал(а):

Батороев, стремление разобраться самостоятельно вызывает во мне большое уважение к Вам.

Спасибо! Взаимно!

Yadryara в сообщении #1691719 писал(а):

Но, с другой стороны, неплохо бы двигаться вперёд. То есть изучить то, что уже придумано и попытаться найти новое. Переоткрывать хорошо известное старое необязательно.

На это у меня - дилетанта от математики - "масла в голове" на хватило бы. у меня не семь пядей во лбу ($7\cdot 0.1778 = 1,2446 \text {м}$).

Yadryara в сообщении #1691719 писал(а):

Ну в самом деле, поставьте себя на место других людей. Вы, к примеру, публично сообщаете о том, что смогли самостоятельно вычислить, что окружность длиннее своего диаметра примерно в 3.14159 раза. Надо же, вот оно чё, Михалыч, а мы-то и не знали.

В школе то я учился.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1691582 писал(а):

Т.е. можно ли, зная число простых чисел , рассчитать число простых чисел-близнецов на этом же диапазоне?

Можно, достаточно применить формулу в обратном порядке, заменить $\frac{n}{\ln(n)} \to \pi(n)$:

$$\pi_2(n)=2 C_2 \frac{n}{\ln(n)^2} = 2 C_2 \frac{1}{n} \left ( \frac{n}{\ln(n)} \right )^2 = 2 C_2 \frac{1}{n} \pi(n)^2 = 2 C_2 \frac{\pi(n)^2}{n}$$

По моему достаточно банально.
Разумеется это работает лишь асимптотически.
При этом константа $C_2$ известна с точностью более чем 5000 цифр, а не три цифры как получилось у Вас.