Теорема о вложенных отрезках Кантора

[StepV]

Если брать за основу доказательство в Шапошникове, то п.2. доказательства для меня оказывается, к сожалению, вне моей логики. В п.2 говорится, что для всякого $\varepsilon$ существует $n$, что $b_n - a_n < \varepsilon$, то пересечение всех вложенных отрезков состоит из одной точки. Посмотрите мои аргументы.
С моей точки зрения это должен быть отрезок и логической ошибки я не нахожу. Помогите пожалуйста.

Пусть у нас имеются $\varepsilon_1$ и $n_1$ такие, что $b_{n_1} - a_{n_1} < \varepsilon_1$. Выберем $\varepsilon_2 < \varepsilon_1$ и $n_2 > n_1$ такие, что $b_{n_2} - a_{n_2} < \varepsilon_2$. Это означает, что $(b_{n_2} - a_{n_2}) \subset (b_{n_1} - a_{n_1})$, т.е. отрезок (b_{n_2} - a_{n_2}) вложен в отрезок (b_{n_1} - a_{n_1}). Поэтому пересечением отрезков для $\varepsilon_1$ и $n_1$ будет отрезок $(b_{n_2} - a_{n_2}).
Для произвольных $\varepsilon_k$ и $n_k$ можно найти $\varepsilon_{k+1}$ и $n_{k+1}$, таким образом, что $\varepsilon_{n_{k+1}} < \varepsilon_k$ и $n_{k+1} > n_k$, что отрезок $(b_{n_{k+1}} - a_{n_{k+1}}) \subset (b_{n_k} - a_{n_k})$ и пересечением отрезков для $\varepsilon_k$ и $n_k$ будет отрезок $(b_{n_{k+1}} - a_{n_{k+1}}).
Поэтому для любого $n_k$ и $\varepsilon_k$ существует вложенный в него отрезок, который и будет являться результатом пересечения для $n_k$ отрезков.

Изложил более детальнее доказательство.

[dgwuqtj]

StepV в сообщении #1657804 писал(а):

поэтому пересечением всех отрезков для любого $n$ будет отрезок.

Мне непонятно, почему это следует из предыдущего текста.

[drzewo]

Теорема о вложенных отрезках говорит о том, что пересечение любого множества вложенных отрезков непусто. Разумеется, можно взять счетное множество отрезков, которые совпадают друг с другом. В пересечении получится отрезок.

[StepV]

dgwuqtj в сообщении #1657805 писал(а):

Мне непонятно, почему это следует из предыдущего текста.

Поправил текст. Сделал более детальным. Посмотрите яснее выражена мысль? В чем логическая ошибка?

[dgwuqtj]

Из этого всё равно ничего не следует про пересечение всех отрезков сразу.

[Geen]

StepV в сообщении #1657804 писал(а):

Поэтому для любого $n_k$ и $\varepsilon_k$ существует вложенный в него отрезок, который и будет являться результатом пересечения для $n_k$ отрезков.

Результатом пересечения $n_k$ вложенных отрезков будет, как-раз, $n_k$-тый отрезок сам по себе... разве нет?

[StepV]

Geen в сообщении #1657813 писал(а):

Результатом пересечения $n_k$ вложенных отрезков будет, как-раз, $n_k$-тый отрезок сам по себе... разве нет?

Согласен с вами. Если следовать моей логике, то действительно не нужно плодить дополнительных сущностей и $n_k$-отрезок и будет результатом пересечения. Но все равно это же не точка!! Что и где подкрутить?

[dgwuqtj]

StepV
А вы можете посчитать $\bigcap_{n = 1}^\infty [0, \frac 1 n] = [0, 1] \cap [0, \frac 1 2] \cap [0, \frac 1 3] \cap \ldots$?

[drzewo]

(Оффтоп)

Есть две теоремы совершенно разной природы. Что бы не вдаваться будем считать, что дело происходит в метрическом пространстве.
Теорема 1. Любое семейство вложенных друг в друга компактов имеет непустое пересечение.
Теорема 2. В полном метрическом пространстве всякое множество вложенных друг в друга замкнутых подмножеств с диаметрами, стремящимися к нулю, имеет непустое пересечение и это пересечение состоит из единственной точки.
Смешивать эти теоремы не стоит:)

[Dan B-Yallay]

StepV в сообщении #1657814 писал(а):

Что и где подкрутить?

Построить последовательность величин $\varepsilon_k$ стремящихся к нулю.

-- Пн окт 07, 2024 12:11:12 --

Пока набирал - меня опередили.

[StepV]

dgwuqtj в сообщении #1657815 писал(а):

А вы можете посчитать

Пересечением будет точка $0$.

Dan B-Yallay в сообщении #1657821 писал(а):

Построить последовательность величин $\varepsilon_k$ стремящихся к нулю.

Идею понял. Устремил к нулю и вижу, получается только общая точка. Жаль, что в самом доказательстве теоремы это не написано. Было бы гораздо яснее.
Спасибо всем, кто помог!

[Mikhail_K]

StepV

StepV в сообщении #1657804 писал(а):

для всякого $\varepsilon$ существует $n$, что $b_n - a_n < \varepsilon$

как раз и означает, что среди отрезков есть сколь угодно малые (какой бы $\varepsilon>0$ ни взять, есть отрезок ещё меньшей длины). И ещё они все друг в друга вложены, вот и сужаются в точку.

[Null]

StepV в сообщении #1657826 писал(а):

Жаль, что в самом доказательстве теоремы это не написано.

Пределы идут позже теоремы о вложенных отрезках. Пока не пределов приходиться писать через $\varepsilon$

[StepV]

Mikhail_K в сообщении #1657827 писал(а):

И ещё они все друг в друга вложены, вот и сужаются в точку.

Вот если бы эта фраза в тексте доказательства теоремы была, понял бы сразу. А там берут две точки $c_1$ и $c_2$ внутри отрезка и доказывают, что она одна. А я вижу отрезок $[c_1,c_2]$. Поэтому и выскочил вопрос.

[EminentVictorians]

StepV в сообщении #1657826 писал(а):

Идею понял. Устремил к нулю и вижу, получается только общая точка.

Тут только главное помнить, что это именно идея, а не доказательство. Потому что если рассуждать с точки зрения наглядной интуции, может показаться, что и в $\mathbb Q$ этот принцип работает (по крайней мере, осознание нарушения этого принципа для $\mathbb Q$ было великим математическим открытием древних греков; так что наглядно это далеко не очевидно).