2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Теорема о вложенных отрезках Кантора
Сообщение07.10.2024, 19:49 
Аватара пользователя


23/05/20
378
Беларусь
Если брать за основу доказательство в Шапошникове, то п.2. доказательства для меня оказывается, к сожалению, вне моей логики. В п.2 говорится, что для всякого $\varepsilon$ существует $n$, что $b_n - a_n < \varepsilon$, то пересечение всех вложенных отрезков состоит из одной точки. Посмотрите мои аргументы.
С моей точки зрения это должен быть отрезок и логической ошибки я не нахожу. Помогите пожалуйста.

Пусть у нас имеются $\varepsilon_1$ и $n_1$ такие, что $b_{n_1} - a_{n_1} < \varepsilon_1$. Выберем $\varepsilon_2 < \varepsilon_1$ и $n_2 > n_1$ такие, что $b_{n_2} - a_{n_2} < \varepsilon_2$. Это означает, что $(b_{n_2} - a_{n_2}) \subset (b_{n_1} - a_{n_1})$, т.е. отрезок (b_{n_2} - a_{n_2}) вложен в отрезок (b_{n_1} - a_{n_1}). Поэтому пересечением отрезков для $\varepsilon_1$ и $n_1$ будет отрезок $(b_{n_2} - a_{n_2}).
Для произвольных $\varepsilon_k$ и $n_k$ можно найти $\varepsilon_{k+1}$ и $n_{k+1}$, таким образом, что $\varepsilon_{n_{k+1}} < \varepsilon_k$ и $n_{k+1} > n_k$, что отрезок $(b_{n_{k+1}} - a_{n_{k+1}}) \subset (b_{n_k} - a_{n_k})$ и пересечением отрезков для $\varepsilon_k$ и $n_k$ будет отрезок $(b_{n_{k+1}} - a_{n_{k+1}}).
Поэтому для любого $n_k$ и $\varepsilon_k$ существует вложенный в него отрезок, который и будет являться результатом пересечения для $n_k$ отрезков.

Изложил более детальнее доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложенных отрезках Кантора
Сообщение07.10.2024, 19:58 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
StepV в сообщении #1657804 писал(а):
поэтому пересечением всех отрезков для любого $n$ будет отрезок.

Мне непонятно, почему это следует из предыдущего текста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложенных отрезках Кантора
Сообщение07.10.2024, 20:01 


21/12/16
721
Теорема о вложенных отрезках говорит о том, что пересечение любого множества вложенных отрезков непусто. Разумеется, можно взять счетное множество отрезков, которые совпадают друг с другом. В пересечении получится отрезок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложенных отрезках Кантора
Сообщение07.10.2024, 20:40 
Аватара пользователя


23/05/20
378
Беларусь
dgwuqtj в сообщении #1657805 писал(а):
Мне непонятно, почему это следует из предыдущего текста.


Поправил текст. Сделал более детальным. Посмотрите яснее выражена мысль? В чем логическая ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложенных отрезках Кантора
Сообщение07.10.2024, 20:49 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Из этого всё равно ничего не следует про пересечение всех отрезков сразу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложенных отрезках Кантора
Сообщение07.10.2024, 20:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
StepV в сообщении #1657804 писал(а):
Поэтому для любого $n_k$ и $\varepsilon_k$ существует вложенный в него отрезок, который и будет являться результатом пересечения для $n_k$ отрезков.

Результатом пересечения $n_k$ вложенных отрезков будет, как-раз, $n_k$-тый отрезок сам по себе... разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложенных отрезках Кантора
Сообщение07.10.2024, 20:55 
Аватара пользователя


23/05/20
378
Беларусь
Geen в сообщении #1657813 писал(а):
Результатом пересечения $n_k$ вложенных отрезков будет, как-раз, $n_k$-тый отрезок сам по себе... разве нет?


Согласен с вами. Если следовать моей логике, то действительно не нужно плодить дополнительных сущностей и $n_k$-отрезок и будет результатом пересечения. Но все равно это же не точка!! Что и где подкрутить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложенных отрезках Кантора
Сообщение07.10.2024, 21:00 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
StepV
А вы можете посчитать $\bigcap_{n = 1}^\infty [0, \frac 1 n] = [0, 1] \cap [0, \frac 1 2] \cap [0, \frac 1 3] \cap \ldots$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложенных отрезках Кантора
Сообщение07.10.2024, 21:08 


21/12/16
721

(Оффтоп)

Есть две теоремы совершенно разной природы. Что бы не вдаваться будем считать, что дело происходит в метрическом пространстве.
Теорема 1. Любое семейство вложенных друг в друга компактов имеет непустое пересечение.
Теорема 2. В полном метрическом пространстве всякое множество вложенных друг в друга замкнутых подмножеств с диаметрами, стремящимися к нулю, имеет непустое пересечение и это пересечение состоит из единственной точки.
Смешивать эти теоремы не стоит:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложенных отрезках Кантора
Сообщение07.10.2024, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10056
StepV в сообщении #1657814 писал(а):
Что и где подкрутить?

Построить последовательность величин $\varepsilon_k$ стремящихся к нулю.

-- Пн окт 07, 2024 12:11:12 --

Пока набирал - меня опередили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложенных отрезках Кантора
Сообщение07.10.2024, 21:25 
Аватара пользователя


23/05/20
378
Беларусь
dgwuqtj в сообщении #1657815 писал(а):
А вы можете посчитать


Пересечением будет точка $0$.

Dan B-Yallay в сообщении #1657821 писал(а):
Построить последовательность величин $\varepsilon_k$ стремящихся к нулю.


Идею понял. Устремил к нулю и вижу, получается только общая точка. Жаль, что в самом доказательстве теоремы это не написано. Было бы гораздо яснее.
Спасибо всем, кто помог! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложенных отрезках Кантора
Сообщение07.10.2024, 21:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4834
StepV
StepV в сообщении #1657804 писал(а):
для всякого $\varepsilon$ существует $n$, что $b_n - a_n < \varepsilon$
как раз и означает, что среди отрезков есть сколь угодно малые (какой бы $\varepsilon>0$ ни взять, есть отрезок ещё меньшей длины). И ещё они все друг в друга вложены, вот и сужаются в точку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложенных отрезках Кантора
Сообщение07.10.2024, 21:31 
Заслуженный участник


12/08/10
1676
StepV в сообщении #1657826 писал(а):
Жаль, что в самом доказательстве теоремы это не написано.
Пределы идут позже теоремы о вложенных отрезках. Пока не пределов приходиться писать через $\varepsilon$

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложенных отрезках Кантора
Сообщение07.10.2024, 21:35 
Аватара пользователя


23/05/20
378
Беларусь
Mikhail_K в сообщении #1657827 писал(а):
И ещё они все друг в друга вложены, вот и сужаются в точку.


Вот если бы эта фраза в тексте доказательства теоремы была, понял бы сразу. А там берут две точки $c_1$ и $c_2$ внутри отрезка и доказывают, что она одна. А я вижу отрезок $[c_1,c_2]$. Поэтому и выскочил вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема о вложенных отрезках Кантора
Сообщение08.10.2024, 00:46 


22/10/20
1185
StepV в сообщении #1657826 писал(а):
Идею понял. Устремил к нулю и вижу, получается только общая точка.
Тут только главное помнить, что это именно идея, а не доказательство. Потому что если рассуждать с точки зрения наглядной интуции, может показаться, что и в $\mathbb Q$ этот принцип работает (по крайней мере, осознание нарушения этого принципа для $\mathbb Q$ было великим математическим открытием древних греков; так что наглядно это далеко не очевидно).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group