2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Пифагоровы тройки
Сообщение01.10.2024, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Батороев в сообщении #1656952 писал(а):
Некогда и я занимался этой задачей...
Если имеется в виду нахождение пифагоровых тр-ов с заданной разностью катетов $(=m)$, можно записать
$x^2=y^2+(m+y)^2,$ или
$x^2-2y^2-2my-m^2=0,$ зайти, к примеру, сюда https://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM и получить решение именно в рекуррентной форме. Правда, для составного $m$ нужно учесть случаи $\gcd (m,x,y)>1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пифагоровы тройки
Сообщение01.10.2024, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Andrey A в сообщении #1656999 писал(а):
... нахождение пифагоровых тр-ов с заданной разностью катетов
p.s. для примитивных троек дело сводится к уравнению $p^2-2q^2=m,$ которое решается различными методами (напр. с помощью того же сервиса). Если равенство верно, пара $q,p+q$, подставленная в Евклидовы формулы возвращает некоторое решение задачи. Но уравнение разрешимо не для любого $m,$ это важно. Необходимое условие: отсутствие простых вида $8k\pm3$ в нечетных степенях канонического разложения $m$. Таким образом, треугольников с разностью $m=10$ не бывает. А с $m=50$ бывает: $150^2+200^2=250^2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пифагоровы тройки
Сообщение03.10.2024, 11:43 


23/01/07
3497
Новосибирск
Andrey A в сообщении #1656999 писал(а):
Если имеется в виду нахождение пифагоровых тр-ов с заданной разностью катетов $(=m)$,

Не совсем так. Я, представив вариант нахождения пифагоровых троек, в котором все последующие тройки находятся последовательно из предыдущей, пытался разобраться с вопросом ТС, что все ли тройки при этом учитываются или существуют другие цепочки, берущие начало от других троек, отличных от $3,4,5$?
.....
Сегодня разобрался со своим вариантом (результаты которого совпадают с результатами в приведенной мной ссылке).
Я тогда использовал разложение чисел на разность квадратов натуральных чисел, из чего получил:
Нечетная величина катета в пифагоровом треугольнике, заданного ТС вида, определяется, как произведение $a_{i}\cdot b_{i} $, где $a_{i}>b_{i}$, а множители рассчитываются, как:
$b_{i}=a_{(i-1)}$
$a_{i}=b_{(i-1)}+2\cdot a_{(i-1)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пифагоровы тройки
Сообщение03.10.2024, 12:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Батороев в сообщении #1657190 писал(а):
$b_{i}=a_{(i-1)}$
$a_{i}=b_{(i-1)}+2\cdot a_{(i-1)}$.
Сравните:
Andrey A в сообщении #1656115 писал(а):
$1+\sqrt{2}=2;2,2,...,2,2,...=\dfrac{2}{1},\dfrac{5}{2},\dfrac{12}{5},...,\dfrac{p_{n+1}=2p_n+p_{n-1}}{q_{n+1}=p_n}.$
Проще это можно выразить как пары соседних членов последовательности
$$1,2,...,a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}.$$ Отсюда и рекуррентная форма для множителей катетов тр-ка. Я-то думал, что с вопросом от Anna Andreevna мы разобрались.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пифагоровы тройки
Сообщение03.10.2024, 16:46 


23/01/07
3497
Новосибирск
Andrey A в сообщении #1657201 писал(а):
Я-то думал, что с вопросом от Anna Andreevna мы разобрались.

Да, только я, не зная уравнения Пелля, хотел убедиться в этом своими "дедовскими" методами. :roll:
Сегодня "память вернулась" и я убедился (т.к. эквивалентно уравнению $(2n+1)^2=2k^2-1$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: vicvolf


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group