Пифагоровы тройки

[Andrey A]

Батороев в сообщении #1656952 писал(а):

Некогда и я занимался этой задачей...

Если имеется в виду нахождение пифагоровых тр-ов с заданной разностью катетов $(=m)$, можно записать
$x^2=y^2+(m+y)^2,$ или
$x^2-2y^2-2my-m^2=0,$ зайти, к примеру, сюда https://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM и получить решение именно в рекуррентной форме. Правда, для составного $m$ нужно учесть случаи $\gcd (m,x,y)>1.$

[Andrey A]

Andrey A в сообщении #1656999 писал(а):

... нахождение пифагоровых тр-ов с заданной разностью катетов

p.s. для примитивных троек дело сводится к уравнению $p^2-2q^2=m,$ которое решается различными методами (напр. с помощью того же сервиса). Если равенство верно, пара $q,p+q$, подставленная в Евклидовы формулы возвращает некоторое решение задачи. Но уравнение разрешимо не для любого $m,$ это важно. Необходимое условие: отсутствие простых вида $8k\pm3$ в нечетных степенях канонического разложения $m$. Таким образом, треугольников с разностью $m=10$ не бывает. А с $m=50$ бывает: $150^2+200^2=250^2.$

[Батороев]

Andrey A в сообщении #1656999 писал(а):

Если имеется в виду нахождение пифагоровых тр-ов с заданной разностью катетов $(=m)$,

Не совсем так. Я, представив вариант нахождения пифагоровых троек, в котором все последующие тройки находятся последовательно из предыдущей, пытался разобраться с вопросом ТС, что все ли тройки при этом учитываются или существуют другие цепочки, берущие начало от других троек, отличных от $3,4,5$?
.....
Сегодня разобрался со своим вариантом (результаты которого совпадают с результатами в приведенной мной ссылке).
Я тогда использовал разложение чисел на разность квадратов натуральных чисел, из чего получил:
Нечетная величина катета в пифагоровом треугольнике, заданного ТС вида, определяется, как произведение $a_{i}\cdot b_{i} $, где $a_{i}>b_{i}$, а множители рассчитываются, как:
$b_{i}=a_{(i-1)}$
$a_{i}=b_{(i-1)}+2\cdot a_{(i-1)}$.

[Andrey A]

Батороев в сообщении #1657190 писал(а):

$b_{i}=a_{(i-1)}$
$a_{i}=b_{(i-1)}+2\cdot a_{(i-1)}$.

Сравните:

Andrey A в сообщении #1656115 писал(а):

$1+\sqrt{2}=2;2,2,...,2,2,...=\dfrac{2}{1},\dfrac{5}{2},\dfrac{12}{5},...,\dfrac{p_{n+1}=2p_n+p_{n-1}}{q_{n+1}=p_n}.$

Проще это можно выразить как пары соседних членов последовательности

$$1,2,...,a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}.$$

Отсюда и рекуррентная форма для множителей катетов тр-ка. Я-то думал, что с вопросом от Anna Andreevna мы разобрались.

[Батороев]

Andrey A в сообщении #1657201 писал(а):

Я-то думал, что с вопросом от Anna Andreevna мы разобрались.

Да, только я, не зная уравнения Пелля, хотел убедиться в этом своими "дедовскими" методами.
Сегодня "память вернулась" и я убедился (т.к. эквивалентно уравнению $(2n+1)^2=2k^2-1$).