2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Пифагоровы тройки
Сообщение01.10.2024, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Батороев в сообщении #1656952 писал(а):
Некогда и я занимался этой задачей...
Если имеется в виду нахождение пифагоровых тр-ов с заданной разностью катетов $(=m)$, можно записать
$x^2=y^2+(m+y)^2,$ или
$x^2-2y^2-2my-m^2=0,$ зайти, к примеру, сюда https://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM и получить решение именно в рекуррентной форме. Правда, для составного $m$ нужно учесть случаи $\gcd (m,x,y)>1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пифагоровы тройки
Сообщение01.10.2024, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Andrey A в сообщении #1656999 писал(а):
... нахождение пифагоровых тр-ов с заданной разностью катетов
p.s. для примитивных троек дело сводится к уравнению $p^2-2q^2=m,$ которое решается различными методами (напр. с помощью того же сервиса). Если равенство верно, пара $q,p+q$, подставленная в Евклидовы формулы возвращает некоторое решение задачи. Но уравнение разрешимо не для любого $m,$ это важно. Необходимое условие: отсутствие простых вида $8k\pm3$ в нечетных степенях канонического разложения $m$. Таким образом, треугольников с разностью $m=10$ не бывает. А с $m=50$ бывает: $150^2+200^2=250^2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Пифагоровы тройки
Сообщение03.10.2024, 11:43 


23/01/07
3491
Новосибирск
Andrey A в сообщении #1656999 писал(а):
Если имеется в виду нахождение пифагоровых тр-ов с заданной разностью катетов $(=m)$,

Не совсем так. Я, представив вариант нахождения пифагоровых троек, в котором все последующие тройки находятся последовательно из предыдущей, пытался разобраться с вопросом ТС, что все ли тройки при этом учитываются или существуют другие цепочки, берущие начало от других троек, отличных от $3,4,5$?
.....
Сегодня разобрался со своим вариантом (результаты которого совпадают с результатами в приведенной мной ссылке).
Я тогда использовал разложение чисел на разность квадратов натуральных чисел, из чего получил:
Нечетная величина катета в пифагоровом треугольнике, заданного ТС вида, определяется, как произведение $a_{i}\cdot b_{i} $, где $a_{i}>b_{i}$, а множители рассчитываются, как:
$b_{i}=a_{(i-1)}$
$a_{i}=b_{(i-1)}+2\cdot a_{(i-1)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пифагоровы тройки
Сообщение03.10.2024, 12:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Батороев в сообщении #1657190 писал(а):
$b_{i}=a_{(i-1)}$
$a_{i}=b_{(i-1)}+2\cdot a_{(i-1)}$.
Сравните:
Andrey A в сообщении #1656115 писал(а):
$1+\sqrt{2}=2;2,2,...,2,2,...=\dfrac{2}{1},\dfrac{5}{2},\dfrac{12}{5},...,\dfrac{p_{n+1}=2p_n+p_{n-1}}{q_{n+1}=p_n}.$
Проще это можно выразить как пары соседних членов последовательности
$$1,2,...,a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}.$$ Отсюда и рекуррентная форма для множителей катетов тр-ка. Я-то думал, что с вопросом от Anna Andreevna мы разобрались.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пифагоровы тройки
Сообщение03.10.2024, 16:46 


23/01/07
3491
Новосибирск
Andrey A в сообщении #1657201 писал(а):
Я-то думал, что с вопросом от Anna Andreevna мы разобрались.

Да, только я, не зная уравнения Пелля, хотел убедиться в этом своими "дедовскими" методами. :roll:
Сегодня "память вернулась" и я убедился (т.к. эквивалентно уравнению $(2n+1)^2=2k^2-1$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group