Клин под дождем из гороха

[drzewo]

Немного регулярной теории.

(Оффтоп)

Предположим, что некоторое тело с поверхностью $\Sigma$ покоится в потоке этого самого гороха с плотностью $\rho(x)$ и скоростью $\boldsymbol v(x),\quad x\in\mathbb{R}^3$.
Через $\boldsymbol n(y)$ обозначим вектор единичной внешней нормали к $\Sigma\ni y$.
После отскока (абсолютно упругий удар) частица имеет скорость

$$\boldsymbol v^+=\boldsymbol v-2\boldsymbol n(\boldsymbol n,\boldsymbol v).$$

Из общих соображений (см. например http://dx.doi.org/10.1119/1.1942149)
ясно, что сила, действующая на площадку $ds$ поверхности $\Sigma$ со стороны потока частиц равна

$$d\boldsymbol F=-\rho(\boldsymbol v \boldsymbol(\boldsymbol v,\boldsymbol n)+ \boldsymbol v^+(\boldsymbol v^+,\boldsymbol n))ds=-2\rho\boldsymbol n(\boldsymbol v,\boldsymbol n)^2ds,\quad (\boldsymbol v,\boldsymbol n)<0.$$

В точках, где $ (\boldsymbol v,\boldsymbol n)\ge 0$ надо положить $\boldsymbol F=0$

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1657071 писал(а):

Ваше утверждение такое, что $\alpha - \beta = 2 \gamma$ (с точностью до знака), верно?

У меня было так:
углы $\alpha, \beta$ расположены как на Вашем чертеже.
А вот положительное направление $\gamma$ выбрано против часовой стрелки.
Чтобы формулы соответствовали Вашему чертежу нужно сделать замену $\gamma \to - \gamma$.

И тогда $\beta- \alpha = 2 \gamma$

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1657078 писал(а):

И тогда $\beta- \alpha = 2 \gamma$

Ok. Но тогда это не медиана (ни $\gamma$ ни $-\gamma$).
Соответственно, либо неверно у меня вот это:

wrest в сообщении #1657005 писал(а):

это как раз случай стационарного движения. То есть тогда, когда горошины будут лететь параллельно медиане, проведенной из прямого угла.

Либо у вас вот это:

EUgeneUS в сообщении #1657078 писал(а):

И тогда $\beta- \alpha = 2 \gamma$

При обозначениях

EUgeneUS в сообщении #1656776 писал(а):

$v$ - модуль скорость гороха в СО крыши.
$\alpha, \beta$ - углы при основании крыши, $\gamma$ - угол между $v$ и вертикалью, положительный при наклоне в сторону вершины $\alpha$.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1657080 писал(а):

При обозначениях
EUgeneUS в сообщении #1656776

писал(а):
$v$ - модуль скорость гороха в СО крыши.
$\alpha, \beta$ - углы при основании крыши, $\gamma$ - угол между $v$ и вертикалью, положительный при наклоне в сторону вершины $\alpha$.

После перехода к $ - \gamma$ для соответствия Вашему чертежу, нужно уже писать "$\gamma$ - угол между $v$ и вертикалью, положительный при наклоне в сторону вершины $\beta$.

Ошибок к себя найти не смог. Почти уверен, что их нет.
1. В формуле, где разница квадратов косинусов, (почти) уверен, так как к ней сводится решение уважаемого drzewo
2. Переход от разницы квадратов косинусов к произведению синусов, тоже вроде бы тривиальный. Там сложно запутаться....

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1657082 писал(а):

Ошибок к себя найти не смог. Почти уверен, что их нет.

Применяя

EUgeneUS в сообщении #1657027 писал(а):

Есть такой приём - "проверка решения на крайних случаях".

Давайте посмотрим на края. Например имеем очень пологий один скат ($\alpha <<1$) и прямой угол при коньке (тогда пологий скат ещё и очень длинный по сравнению с крутым). Тогда $|\alpha - \beta| \approx |\beta| \approx 90^{\circ}$ и $|\gamma| \approx |\beta| /2 \approx 45^{\circ}$ (знаки опускаю, они понятны по смыслу). Т.е. для равновесия сил, в вашем решении, горох должен сыпаться на такую крышу под углом около $45^{\circ}$ (и к вертикали и к горизонтали). Согласны?

[Утундрий]

Покрутил случай с прямым углом при вершине. Предельного значения $v \operatorname{ctg}(2 \alpha)$ скорость крыши никогда не достигает, а приближается к ней экспоненциально. Любопытно, что чем более приземистая ($\alpha \to 0$) крыша, тем большей скорости она в итоге достигнет. Правда, за характерное время, расходящееся по закону $\alpha ^{-2}$.

В качестве обобщения можно рассмотреть случай, когда "горох" производит стая голубей. Частицы при этом разумно считать абсолютно липкими.

[wrest]

Утундрий в сообщении #1657085 писал(а):

Частицы при этом разумно считать абсолютно липкими.

Это вариация/обощение задачи про снегопад и спящего дворника на тележке ( post1424388.html#p1424388 ). Раз падающее прилипает, то не важно есть скаты у крыши или она плоская.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1657083 писал(а):

Тогда $|\alpha - \beta| \approx |\beta| \approx 90^{\circ}$ и $|\gamma| \approx |\beta| /2 \approx 45^{\circ}$ (знаки опускаю, они понятны по смыслу). Т.е. для равновесия сил, в вашем решении, горох должен сыпаться на такую крышу под углом около $45^{\circ}$ (и к вертикали и к горизонтали). Согласны?

Да, это следует из формул.
Понятно, куда Вы клоните: потом Вы скажете, что при прямом угле в коньке на скаты крыши должно попадать одинаковое количество гороха, что не выполняется.
У меня пока нет решения этого противоречия.
Пока приведу выкладки, в которых уверен.

[Утундрий]

EUgeneUS в сообщении #1657092 писал(а):

скажите

Скажете.

[EUgeneUS]

Утундрий
Нуок

-- 02.10.2024, 17:43 --

Пусть в лабораторной ИСО горох падает вертикально, и верно следующее.

drzewo в сообщении #1656797 писал(а):

$$m\ddot x=2h\rho\Big(-(\dot x\sin\alpha+u\cos\alpha)^2+(\dot x\sin\beta-u\cos\beta)^2\Big),$$

Тогда в СО клина:
$v_y = u$ - вертикальная проекция скорости гороха
$v_x = - \dot x$ - горизонтальная проекция скорости гороха
$v = \sqrt{v_y^2 + v_x^2}$ - модуль скорости гороха
$\frac{v_y}{v}=\cos \gamma$ и $\frac{v_x}{v}=\sin \gamma$, где $\gamma$ - угол между скоростью гороха и вертикальной осью (ось направлена вниз).

Тогда:

$$m\ddot x=2h\rho\Big(-(\dot x\sin\alpha+u\cos\alpha)^2+(\dot x\sin\beta-u\cos\beta)^2\Big) = $$

$$= 2h\rho v ^2 \Big(-(- \sin \gamma \sin\alpha+ \cos \gamma\cos\alpha)^2+(- \sin \gamma\sin\beta-\cos \gamma\cos\beta)^2\Big) = $$

$$=2h\rho v ^2 \Big( - \cos^2(\alpha + \gamma) + \cos^2(\beta - \gamma)\Big)$$

собственно, что у меня и получилось, с точностью до перестановки углов при основании и-или знака у $\gamma$

-- 02.10.2024, 17:50 --

переходим к произведению синусов (размерные множители опускаю)

$$ - \cos^2(\alpha + \gamma) + \cos^2(\beta - \gamma) = $$

$$ = (\cos(\beta - \gamma) + \cos(\alpha + \gamma))(\cos(\beta - \gamma) - \cos(\alpha + \gamma)) = $$

$$= 4 \cos\frac{\beta + \alpha}{2} \cos\frac{\alpha - \beta + 2\gamma}{2}\sin\frac{\beta + \alpha}{2} \sin\frac{\alpha - \beta + 2\gamma}{2} = $$

$$ = \sin (\alpha + \beta) \sin (\alpha - \beta + 2\gamma) $$

Вроде бы всё прозрачно.

-- 02.10.2024, 18:01 --

wrest
Остаются два варианта (если в выкладках выше нет ошибок)
1. Либо Ваше рассмотрение крайнего случая некорректно (не знаю почему)
2. Либо мое решение и решение уважаемого drzewo оба неверны.

[drzewo]

В моих формулах $u>0$ если что. Там на картинке определение $\boldsymbol u$ записано.

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1657096 писал(а):

В моих формулах $u>0$ если что.

Так и в моих выкладках:
$u = v_y = v \cos \gamma >0$

Если ось направить вниз, то $\mathbf{u} = u \mathbf{e_y}$, но всё равно $u >0$

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1657092 писал(а):

Понятно, куда Вы клоните: потом Вы скажете, что при прямом угле в коньке на скаты крыши должно попадать одинаковое количество гороха, что не выполняется.

Ага

[lel0lel]

wrest в сообщении #1657098 писал(а):

EUgeneUS в сообщении #1657092 писал(а):

Понятно, куда Вы клоните: потом Вы скажете, что при прямом угле в коньке на скаты крыши должно попадать одинаковое количество гороха, что не выполняется.

Ага

Это неверно, "входящие" объёмы в установившемся режиме (для любой крыши) относятся как обратные синусы углов, то есть $\frac{V_{\alpha}}{V_{\beta}}=\frac{\sin{\beta}}{\sin{\alpha}}$

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1657094 писал(а):

Либо мое решение и решение уважаемого drzewo оба неверны.

Чтобы совпало с моим рассуждением про то, что поворот отражающей плоскости на 90 градусов поворачивает угол отражения на 180 (в котором я весьма уверен в виду его крайней простоты и очевидности), надо чтобы у вас в итоге получилось $|\alpha-\beta|=|\gamma|$, без двойки.

-- 02.10.2024, 18:45 --

lel0lel в сообщении #1657100 писал(а):

Это неверно, "входящие" объёмы в установившемся режиме (для любой крыши) относятся как обратные синусы углов, то есть $\frac{V_{\alpha}}{V_{\beta}}=\frac{\sin{\beta}}{\sin{\alpha}}$

Ну хорошо. Пусть на неподвижную крышу из задачи (с прямым углом у конька) вертикально и одновременно падает по одной горошине (ессно, равных "входящих объемов", т.е. равных по массе и скорости в момент удара) на каждый скат. Допустим, левый скат более пологий. Куда (вправо или влево) поедет крыша после такого одновременно-двойного удара?