Клин под дождем из гороха

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1656797 писал(а):

моя версия

Это сводится к моей версии переходом в ИСО клина.
UPD. С точностью до перестановки $\alpha \leftrightarrow \beta$ и с точностью до знака $\gamma$

[drzewo]

Формулы, что я выше записал, корректны при следующих условиях

$$u\cos\alpha+\dot x\sin\alpha>0,\quad -u\cos\beta+\dot x\sin\beta<0$$

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1656801 писал(а):

Формулы, что я выше записал, корректны при следующих условиях

Насколько понимаю, это условия того, что ни один из скатов крыши (клина), не затеняется другим, и горох, хоть в каком-то количестве, попадает на оба.
В моём решении выше, это условие не указано явно, то также подразумевается. Записать его можно так:

$-(\pi /2 - \alpha)< \gamma < (\pi /2 - \beta)$

[wrest]

Иными словами, при вертикальном потоке града (гороха) крыша поедет в сторону более крутого ската.
Надо признать, это "богатая" задача. Во-первых, можно обобщить на случай непрямого угла при коньке.
Во-вторых, на случай не вертикального потока. И в третьих - на случай более чем одного удара горошин. Это ещё не сделано, но при вертикальном потоке ясно, что пологий скат получит ещё бОльшую прибавку потока импульса вбок чем крутой.

В чём же тут тайный секрет? Я думаю в том, что $x>\sin (x)$

Можно ли прийти к правильному ответу рукомаханием и физической интуицией?

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1656808 писал(а):

Надо признать, это "богатая" задача. Во-первых, можно обобщить на случай непрямого угла при коньке.
Во-вторых, на случай не вертикального потока.

Эти обобщения сделаны.

[waxtep]

EUgeneUS в сообщении #1656776 писал(а):

Тогда
$F = 2 mv^2 HLn (\cos^2(\alpha - \gamma) - \cos^2(\beta+\gamma))$

$v$ - модуль скорость гороха в СО крыши.
$\alpha, \beta$ - углы при основании крыши, $\gamma$ - угол между $v$ и вертикалью, положительный при наклоне в сторону вершины $\alpha$.

Тогда в условиях задачи
$F = 2 mv^2 HLn \cos(2\alpha)$

Но это кажется очень странным: величина силы растет по мере разгона призмы (я смотрю на исходную задачу с прямым углом; у Вас в формуле для результирующей силы все постоянно, кроме $v$, которая растет)

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1656840 писал(а):

Эти обобщения сделаны.

Я заметил, потому написал, что обобщение "в-третьих" ещё не сделано и сделал его рукомахтельно.

[lel0lel]

drzewo в сообщении #1656797 писал(а):

моя версия

$$m\ddot x=2h\rho\Big(-(\dot x\sin\alpha+u\cos\alpha)^2+(\dot x\sin\beta-u\cos\beta)^2\Big)$$

Получается, что у Вас сила со стороны вертикального потока на покоящийся клин с прямым углом при вершине равна (это ошибочное утверждение) $-2h\rho u^2\cos(2\alpha)=-2\frac{c}{\cos{\alpha}+\sin\alpha}\rho u^2\cos(2\alpha),$
где $c$ -- длина гипотенузы клина.
Считая клин единичной ширины, при $\alpha\to 0$ получается "срывающая" сила для бесконечно тонкого клина $2\rho u^2 S$. Но ведь это полная сила давления на лист, а не горизонтальная компонента?
Ночью тоже решали эту задачу вместе с уважаемым waxtep, тригонометрия у нас совпала)
И если "срывающую" силу искать отсюда

lel0lel в сообщении #1656566 писал(а):

для проекции результирующей силы:
$$F_x(t)=F_0 \frac{v^2+u(t)^2}{2v^2}\sin{(2\alpha)}\cos(2\alpha+2\gamma(t)), \gamma(t)=\arctg \frac{u(t)}{v}\leq \frac{\pi}{2}-\alpha,$

то она равна $\frac{F_0}{4}\sin{(4\alpha)}=\rho v^2 S \sin{2\alpha}\cos{2\alpha}$.

[wrest]

waxtep в сообщении #1656843 писал(а):

Но это кажется очень странным: величина силы растет по мере разгона призмы (я смотрю на исходную задачу с прямым углом; у Вас в формуле для результирующей силы все постоянно, кроме $v$, которая растет)

Там же $v$ это скорость горошин. А не клина. Клин покоится.
Но так-то, при "хорошем" разгоне, когда скорость клина станет много больше скорости горошин, сила (=лобовое сопротивление) будет, действительно, расти. Пропорционально квадрату скорости клина, примерно.

[drzewo]

lel0lel в сообщении #1656875 писал(а):

Вас сила со стороны вертикального потока на покоящийся клин с прямым углом при вершине равна $-2h\rho u^2\cos(2\alpha)=-2\frac{c}{\cos{\alpha}+\sin\alpha}\rho u^2\cos(2\alpha),$
где $c$ -- длина гипотенузы клина.
Считая клин единичной ширины, при $\alpha\to 0$ получается "

При $\alpha\to 0$ высота клина $h\to 0$. Почему у Вас в левой части равенства это стремление к нулю есть, а в правой уже нет -- я не понимаю.

-- 01.10.2024, 01:08 --

lel0lel в сообщении #1656875 писал(а):

Ночью тоже решали эту задачу вместе с уважаемым waxtep, тригонометрия у нас совпала)

Там не только в тригонометрии дело, как силу посчитать -- не очень тривиальный вопрос.

[lel0lel]

drzewo в сообщении #1656877 писал(а):

При $\alpha\to 0$ высота клина $h\to 0$. Почему у Вас в левой части равенства это стремление к нулю есть, а в правой уже нет -- я не понимаю.

Да, это я неправильно высоту проведённую к гипотенузе выразил через эту самую гипотенузу, извините) Должно быть так: $h=\frac{c}{2}\sin{2\alpha}$. Тогда всё отлично $-2h\rho u^2\cos 2\alpha=-c\rho u^2 \sin{2\alpha}\cos 2\alpha=-\rho u^2 S\sin{2\alpha}\cos 2\alpha$. Сначала не увидел в ответе $\sin{2\alpha}$ -- запереживал, а он, если переходить к площади клина, из высоты появляется.

[Утундрий]

Пока что не вникал, но любопытно: все учли, что скорость частички у основания клина выше, чем у вершины?

[waxtep]

wrest в сообщении #1656876 писал(а):

Там же $v$ это скорость горошин. А не клина. Клин покоится.

Если я правильно понял обозначения и текст уважаемого EUgeneUS, $v$ это буквально "модуль скорости гороха в СО крыши" - т.е. корень из суммы квадратов скоростей призмы и горошин в неподвижной СО.

wrest в сообщении #1656876 писал(а):

Но так-то, при "хорошем" разгоне, когда скорость клина станет много больше скорости горошин, сила (=лобовое сопротивление) будет, действительно, расти

Здесь верю в другое: удары горошин снача разгоняют призму сильно, а потом все слабее по мере ее разгона. В какой-то момент сила зануляется, а скорость устанавливается. Поменять знак сила не успевает; в этой парадигме клин не разгонится до скорости, превышающей скорость горошин, будет какой-то лимит, зависящий от угла; его выше уважаемый lel0lel записал

-- 01.10.2024, 01:20 --

Утундрий в сообщении #1656879 писал(а):

все учли, что скорость частички у основания клина выше, чем у вершины?

Это жестоко

[waxtep]

wrest в сообщении #1656808 писал(а):

Можно ли прийти к правильному ответу рукомаханием и физической интуицией?

Для неподвижной призмы с прямым углом при вершине, кажется, просто: горошины, падающие слева и справа, отдают призме одинаковый по величине горизонтальный импульс, $\sin{2\alpha}=\sin{2(\pi/2-\alpha)}$. А на пологую сторону их по-любому больше упадет. Замечательное $x\geqslant\sin x$ вроде не просматривается, просто равнодействующая в начале движения $\sim\sin{4\alpha}$, что благоволит малым углам, а большие отрицает, разворачивает (запахло философией)

-- 01.10.2024, 02:53 --

Для призмы с произвольными острыми углами $\alpha,\beta$ тоже всегда пологая сторона выиграет, начальное значение силы $\sim\sin\alpha\sin\beta(\cos^2\alpha-\cos^2\beta)$, но тут уж надо как-то поглубже интуичить, кажется

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1656877 писал(а):

Там не только в тригонометрии дело, как силу посчитать -- не очень тривиальный вопрос.

В "школьном" решении как раз-то с силой никаких проблем нет.
Сила, действующая на один скат крыши:
$F_1 = \frac{p_1 \Delta N_1}{\Delta t}$
Где
$p_1$ - импульс, переданный одной горошиной.
$\Delta N_1$ - количество гороха, упавшее на скат крыши за время $\Delta t$

-- 01.10.2024, 07:15 --

waxtep
У Вас тут:

waxtep в сообщении #1656582 писал(а):

У меня чуть другая тригонометрическая часть получилась, в Ваших обозначениях

$$F\sim \sin{2\alpha}(\cos{(\alpha+\gamma)}-\sin{(\alpha+\gamma)})$$

и тут

waxtep в сообщении #1656894 писал(а):

начальное значение силы $\sim\sin\alpha\sin\beta(\cos^2\alpha-\cos^2\beta)$, но тут уж надо как-то поглубже интуичить, кажется

- взаимоисключающие параграфы. Во втором варианте в скобках разница квадратов косинусов, а в первом - разница косинуса и синуса без квадратов.

Второй вариант совпадает с моим с точностью до множителя $\sin\alpha\sin\beta$. Вероятно, это связано с тем, что я беру в качестве линейного параметра треугольника его высоту (это удобно), а Вы - основание\гипотенузу(?).

-- 01.10.2024, 07:37 --

Из простых масштабных и геометрических соображений следует, что для покоящейся призмы и косого потока гороха сила пропорциональна:

$F \sim m n v^2 l f(\alpha, \beta) (g(\alpha, \gamma) - g(\beta, -\gamma))$

Где
$m$ - масса одной горошины
$n$ - объемная плотность гороха (штук на кубометр).
$v$ - модуль скорости гороха.
$l$ - некий характерный размер треугольника в метрах
$\alpha, \beta$ - углы при основании треугольника
$f(\alpha, \beta)$ - безразмерная функция пересчета характерного размера треугольника. Если в качестве характерного размера брать высоту конька, то оказывается, что $f(\alpha, \beta) \equiv 1$
$g(\alpha, \gamma)$ - некая функция от одного угла при основании и угла, под которым падает горох.