Латинские квадраты

[Nataly-Mak]

maxal писал(а):

Соответсвующие статьи могу выслать, но там не приводится квадратов в явном виде - вероятно, лишь описывается алгоритм их построения - в детали я пока не вникал.

Так это же здорово, что приводится алгоритм построения! Это как раз то, что мне и нужно. Присылайте статьи.
shwedkaЕщё более уточняю задачу. Вот конкретная сатья Brown и другие "Completion of the spectrum of Orthogonal Diagonal Latin Squares". Не можете ли прислать всю статью, а то у меня только пункт 4.

[Aleks-Sid]

Nataly-Mak

Тогда такой вопрос (чтобы мне велосипед не изобретать): есть ли метод составления обобщенных ЛК, дающий решение для всей серии МК 4k+2 ?

[Nataly-Mak]

maxal писал(а):

Nataly-Mak в сообщении #165291 писал(а):

Вообще-то Мапл выдаёт группу взаимно ортогональных латинских квадратов порядка 8, которая состоит из 7 квадратов. Один их них не является диагональным. Понятно, что из 6 квадратов можно составить 15 пар. Однако остаётся открытым вопрос: является ли такая группа ортогональных квадратов единственной?

Не является. Считайте, что эта группа выбрана неким случайным образом.

Вы уверены? Можете привести вторую группу взимно ортогональных латинских квадратов порядка 8? А пока я предполагаю, что это единственная группа. Но мне очень интересно познакомиться со второй группой (если она существует) и сравнить её с первой. Как вы помните, меня интересовал вопрос, чем отличается одна группа от другой. По аналогии с первой группой я вчера построила группу из 3-х взаимно ортогональных латинских квадратов 16-го порядка, один из них не диагональный и два диагональные. Хотелось бы посмотреть на другой алгоритм.

[shwedka]

Nataly-Mak в сообщении #165590 писал(а):

shwedkaЕщё более уточняю задачу. Вот конкретная сатья Brown и другие "Completion of the spectrum of Orthogonal Diagonal Latin Squares". Не можете ли прислать всю статью, а то у меня только пункт 4.

Это целая статья. Просто это статья номер 4 в сборнике статей.

[Nataly-Mak]

Aleks-Sid писал(а):

Тогда такой вопрос (чтобы мне велосипед не изобретать): есть ли метод составления обобщенных ЛК, дающий решение для всей серии МК 4k+2 ?

Вообще-то меня в данный момент не интересуют обобщённые ЛК. Я знаю только один метод латинских квадратов для порядков n=4k+2. Это тот самый метод, который был найден мной в старом журнале "Наука и жизнь". В этом методе как раз строятся обобщённые ЛК и, кроме того, этим методом строятся нетрадиционные магические квадраты.
Ничего другого о применении метода латинских квадратов к данной серии порядков мне неизвестно. Кроме того, что я здесь изложила применительно к квадратам порядка 10. Это стало возможно благодаря тому, что удалось найти пары ортогональных диагональных латинских квадратов 10-го порядка.

Добавлено спустя 3 минуты 47 секунд:

shwedka писал(а):

Это целая статья. Просто это статья номер 4 в сборнике статей.

Д-а-а-а... А я то думала, что Браун и компания много написали.
Тогда нет ли у вас чего-нибудь о построении ортгональных диагональных латинских квадратов для порядков n=4k+2?

[Aleks-Sid]

Nataly-Mak

Не люблю, когда люди идут на поводу какой-либо условности, высказанной пускай даже известным автором книги. Я говорю сейчас о неком отличии классических ЛК от обобщенных. Вот к примеру, составим сравнительные матрицы первых латинских квадратов, добавив просто красивый ЛК:

Классический   Обобщенный    Просто красивый
0 1 2 3 4 5 6 7    0 7 0 7 0 7 0 7    0 1 2 3 4 5 6 7
2 3 0 1 6 7 4 5    5 2 5 2 5 2 5 2    7 6 5 4 3 2 1 0
4 5 6 7 0 1 2 3    3 4 3 4 3 4 3 4    0 1 2 3 4 5 6 7
6 7 4 5 2 3 0 1    6 1 6 1 6 1 6 1    7 6 5 4 3 2 1 0
5 4 7 6 1 0 3 2    6 1 6 1 6 1 6 1    0 1 2 3 4 5 6 7
7 6 5 4 3 2 1 0    3 4 3 4 3 4 3 4    7 6 5 4 3 2 1 0
1 0 3 2 5 4 7 6    5 2 5 2 5 2 5 2    0 1 2 3 4 5 6 7
3 2 1 0 7 6 5 4    0 7 0 7 0 7 0 7    7 6 5 4 3 2 1 0

С точки зрения математики эти три матрицы совершенно одинаковые: в них одинаковое количество цифр разного достоинства. Различия - только в расстановке этих чисел. В классическом ЛК заданы ограничения: в каждой строке и каждом столбце извольте только по одной цифре! Это неминуемо сказывается на качестве магического квадрата - удается обеспечить магическую константу лишь по 2n+2 направлениям. В просто красивом квадрате (написал первое, что взбрело в голову) вряд ли мы получим магический квадрат (правда, не проверил). В обобщенном же квадрате, где сняты все ограничения, заложены сверхуникальные свойства МК - магические константы по 4n направдениям, ассоциативность и совершенность. Строится он легко и изящно для любого 8k и 8k+4. Спрашивается: зачем ограничивать себя до такой степени, чтобы даже не уметь строить ЛК (уповая на Maple и другие программные продукты) и получать при этом самые примитивные МК?

[Nataly-Mak]

Aleks-Sid писал(а):

Не люблю, когда люди идут на поводу какой-либо условности, высказанной пускай даже известным автором книги.

Что вы называете условностью? Условность - это скорее как раз обобщённые латинские квадраты. А классический латинский квадрат - это не условность, это математическая реалия, которой уже несколько веков. И мне больше интересно строить классические ЛК, нежели обобщённые. И при этом совершенно безразлично, что вы это не любите.
Насчёт неумения строить пары ортогональных диагональных латинских классических квадратов. Вот в этом и весь смысл научного поиска! Чтобы УМЕТЬ! Вот, например, ещё вчера я не умела строить такие пары для порядка 10. Но нашла статью, в которой такие пары построили другие люди. Затем, по аналогии с ортогональными квадратами 8-го порядка (которые построил Мапл) вчера построила пару ортогональных латинских квадратов 16-го порядка и с её помощью построила магический квадрат 16-го порядка. И я бы не сказала, что он примитивный! Вы бы сначала рассмотрели его получше. В нём такая стройная структура, что ваши совершенные квадраты перед ним блёкнут.
Кстати, я никак не пойму: какие такие квадраты вы называете одновременно идеальными и совершенными? Как мне кажется, в смысле известных определений, магический квадрат не может быть одновременно идеальным и совершенным. Или у вас свои определения - без условностей?
Ну, хорошо, а пару ортогональных обобщённых латинских квадратов для серии порядков n=4k+2 вы уже составили (чтобы строить с их помощью традиционные магические квадраты)? На худой конец пойдут и обобщённые

[Aleks-Sid]

Nataly-Mak

Насчет вековой традиции лучше не говорите. Алхимия и сейчас существует, но она в руках жуликов, находящих "красную ртуть" и "эликсир молодости". Раньше не было компьютеров и МК занимались в основном слабые математики. Сейчас уровень всей математики фантастически вырос. Мой внук (ему 3 года, но умеет вводить самые замысловатые функции) в Maple решает такие дифуры, которые я, будучи студентом, отродясь бы не довел до конца. Поэтому, то, чем Вы занимаетесь - это шаг назад. Как Вы не понимаете, что равные суммы по строкам , столбцам и почему-то только по главным диагоналям - хромая идея?Раз мы заговорили о диагоналях, то все они должны быть магическими. Я твердо для себя решил, что общепринятые МК на самом деле - полумагические квадраты. Мы даже Конституцию страны корректируем, а уж понятие МК тоже пора пересмотреть в свете современных открытий.
Что касается 4k+2 , то Вы то уж лучше всех узнали о моих способностях. Если возьмусь за это дело, то обязательно задачу решу с блеском. Но могу и не начинать думать, а повременить и дать Вам возможность первой совершить открытие. Как Вы посоветуете, так и сделаю.

Цитата:

Кстати, я никак не пойму: какие такие квадраты вы называете одновременно идеальными и совершенными? Как мне кажется, в смысле известных определений, магический квадрат не может быть одновременно идеальным и совершенным. Или у вас свои определения - без условностей?

В моей последней статье в конце приведены два МК. Они идеальные и совершенные одновременно. Что тут неясного?

[Nataly-Mak]

Aleks-Sid писал(а):

Поэтому, то, чем Вы занимаетесь - это шаг назад.

Ну, как видно из полутора тысяч статей о латинских квадратах, этим не я одна занимаюсь.
И вообще мне не интересны ваши разглагольствования об алхимии и вашем внуке (думаю, что и не только мне). Лучше давайте говорить по теме.

Добавлено спустя 9 минут:

Aleks-Sid писал(а):

Думаю, я смогу за 2-3 дня найти общий принцип создания ЛК, описывающих простой МК порядка одинарной четности. Если, конечно, коллеги не возражают и за положительный результат скажут мне "спасибо"

Коллеги (в моём лице) не возражают Начинайте прямо сейчас.Время пошло!
Ну, а "спасибо" скажут потомки, если ваш результат будет того стоить.

[Aleks-Sid]

А по теме так: занимайтесь своей 1001-ой статьей (классические ЛК). Меня они ничуть не увлекли.

[Nataly-Mak]

Aleks-Sid писал(а):

В моей последней статье в конце приведены два МК. Они идеальные и совершенные одновременно. Что тут неясного?

Я ваши статьи не читаю. Согласно определению идеального квадрата он должен быть ассоциативным. Согласно определению совершенного квадрата он должен обладать свойством комплементарности. А ассоциативность и комплементарность - несовместимые свойства. Тут всё понятно?

[Aleks-Sid]

Nataly-Mak

Цитата:

Согласно определению идеального квадрата он должен быть ассоциативным. Согласно определению совершенного квадрата он должен обладать свойством комплементарности. А ассоциативность и комплементарность - несовместимые свойства. Тут всё понятно?

Выш постулат оказался неверным. А все оттого, что не читаете статей по теме. Если бы посмотрели мои квадраты, то убедились бы: ассоциативность и комплементарность - совместимые свойства.
Чтобы не быть голословным, приведу самый малый ИСМК:

 1,62, 4,63, 7,60, 6,57
48,19,45,18,42,21,43,24
25,38,28,39,31,36,30,33
56,11,53,10,50,13,51,16
49,14,52,15,55,12,54, 9
32,35,29,34,26,37,27,40
41,22,44,23,47,20,46,17
 8,59, 5,58, 2,61, 3,64

Посмотрите - он идеальный и совершенный!
Это Вы понимаете?

[Aleks-Sid]

Nataly-Mak

Цитата:

Ну, хорошо, а пару ортогональных обобщённых латинских квадратов для серии порядков n=4k+2 вы уже составили (чтобы строить с их помощью традиционные магические квадраты)? На худой конец пойдут и обобщённые

Задача оказалась чрезвычайно интересной. Классическими ЛК построить или сложно или невозможно. Зато обобщенными латинскими квадратами решил потрясающе просто и красиво. Для любого 4k+2.
Или Вы уже в который раз мне не верите?

[Nataly-Mak]

Aleks-Sid писал(а):

Выш постулат оказался неверным.

А вы читали определение совершенного квадрата?
Рекомендую хотя бы вот эту статью:
http://www.geocities.com/~harveyh/most-perfect.htm
Или вы "изобрели" своё определение комплементарности? Удивляюсь вашей "изобретательности"!
Знаете ли вы, что совершенный квадрат остаётся совершенным при параллельных переносах на торе? Перенесите свой "идеально-совершенный" квадрат на торе, и его идеальность и "совершенность" улетучатся, как дым. Потому что идеальность в общем случае при параллельных переносах не сохраняется (за исключением нескольких частных случаев), а совершенным ваш квадрат не является.
Вам привести совершенный квадрат или уж сами как-нибудь разберётесь?
И вы предлагаете мне читать ваши статьи " по теме"? Нет уж, увольте!

Добавлено спустя 11 минут 22 секунды:

Aleks-Sid писал(а):

Классическими ЛК построить или сложно или невозможно.

Возможно! Ведь есть уже решение для порядка 10 (оно здесь приведено). Кроме того, доказано, что для любого порядка, кроме 2, 3, 6, существуют пары ортогональных латинских квадратов.
maxal сообщил, что он видел статью, в которой говорится о построении таких пар для порядка 14. Правда, пока я не знаю, являются ли эти квадраты диагональными.

[Aleks-Sid]

Nataly-Mak

Я удивляюсь узости Вашего мышления. Пока что в математике нет определения, что такое совершенный магический квадрат. Есть только различные статьи разных авторов. Они просто находили закономерности в магических квадратах, у которых в любом блоке 2х2 суммы оказывались постоянными. Последние и есть изюминка совершенства. Суммы же по различным сторонам, углам, изменения на торе и прочее - лишь остроумные наблюдения. Второстепенные свойства могут быть, а могут и отсутствовать. Чтобы не было путаницы, возьму на себя смелость дать определение:
Магический квадрат является совершенным, если в любом его квадратном элементе 2х2 сумма четырех чисел постоянна.
Четко и ясно. А все дополнительные мелкие арифметические открытия - это возможные вариации. Кстати, в Википедии вместо определения - какая-то жалкая отписка, касаемая МК четвертого порядка. Это, я считаю, - непорядок!

Поиск классических латинских квадратов порядка 4k+2 полностью отдаю Вам. А то, если я и тут сделаю открытие, то Вы с горя еще и запьете.