Вообще то есть теоремы о существовании простых чисел, имеющих точный порядок m, которую можно использовать для строгого доказательства. Однако имеется и более элементарный путь для нахождения решений

.
При небольших q можно проверить малые простые числа

и возможно найти некоторые решения. Пусть

, разложим

на множители. Для любого делителя

множители

имеют малый общий делитель

. В нашем случае, взяв

получаем, что для нечётного q

или

. В частности из первого следует, что

квадраты по модулю q из второго

квадраты по модулю q. Когда q имеет простой делитель вида 4k+3 возможно выполнение только одного случая. Если q имеет несколько простых делителей может не выполняться ни один из случаев. В частности, если q имеет простой делитель 8k+5 не выполняется не один из случаев. Так как p>3 и

не делится на 3, следует

, соответственно из разложения

получаем

или

. Это значит, что или

квадраты по модулю q или

квадраты по модулю q. Если q>3 имеет простой делитель 4k+3, такой что 6=2*3 не является квадратичным вычетом по нему, это приводит к противоречию. В частности при q=7 возможно решение только

.