Область применимости приближения

[EminentVictorians]

EUgeneUS в сообщении #1655674 писал(а):

если у Вас есть желание разобраться (а там несложно) с этими вопросами - готов дать свои разъяснения, но в отдельной теме

Есть желание.

EUgeneUS в сообщении #1655679 писал(а):

В Вашем примере $x$ - безразмерная величина.
Сделаем его размерной: $x + kx^2$
Тогда
А) Приближенная формула будет такой же: $x$
Б) А вот область применимости этого приближения будет другой. Вместо $|x| \ll 1$, будет $ |x| \ll 1 / |k|$

Я не особо понимаю, чем Вы руководствуетесь, когда выбираете область применимости приближения.

[EUgeneUS]

EminentVictorians в сообщении #1655702 писал(а):

Я не особо понимаю, чем Вы руководствуетесь, когда выбираете область применимости приближения.

Относительной ошибкой, которая получается при применении приближенной формулы.
Конечно, в строгом подходе ошибка должна быть оценена через оценку отброшенного остаточного члена ряда Тейлора.
И должна быть задана граница приемлемой ошибки и неприемлемой.

Но есть простые правила, которых стОит придерживаться:
1. Переменные должны быть "обезразмерены". Тогда их малость описывается, как $|x| \ll 1$
2. Относительная ошибка в этом случае будет порядка $|x|$. Конечно, могут быть клинические случаи, когда вторая (или какая-то другая высшая производная) производная сильно большая получается, но это отдельно проверяется.

В задаче 1411а Демидовича $x$ складывается с $R$, и малость $x$ относительно единицы само по себе ничего не дает - нужна малость $x$ относительно $R$.

-- 23.09.2024, 14:13 --

В "родительской" теме также дал комментарий, чем отличаются бесконечно малые от малых - это просто объекты совершенно разной природы .

Кроме того, у Вас было превратное представление о смысле задания 1411 (как о нахождении линейного приближения функции). Предлагаю Вам решить задачу 1411в, после чего переосмыслить это мнение.

[Утундрий]

Ну и ещё не лишним будет прикинуть, в каких физических ситуациях могла бы возникнуть приближаемся функция. А не разница ли это ускорений свободного падения на высоте $x$ от сферы радиуса $R$?

[EUgeneUS]

Утундрий
Если про задачу 1411а, то это поле диполя на оси диполя, например.
А вот 1411б,в,г - не узнаю в гриме

[EminentVictorians]

EUgeneUS в сообщении #1655719 писал(а):

Относительной ошибкой, которая получается при применении приближенной формулы.

Т.е. Вы буквально начинаете подставлять вместо $x$ конкретные числа и считаете, сколько процентов при них получается относительная ошибка между функцией и её приближенной формулой?

[EUgeneUS]

EminentVictorians в сообщении #1655724 писал(а):

Т.е. Вы буквально начинаете подставлять вместо $x$ конкретные числа и считаете, сколько процентов при них получается относительная ошибка между функцией и её приближенной формулой?

Типа того, если утрировать.
В противном случае, от "приближенной формулы" не много пользы, если неизвестно - насколько хорошо она приближает.

[EminentVictorians]

EUgeneUS в сообщении #1655725 писал(а):

В противном случае, от "приближенной формулы" не много пользы, если неизвестно - насколько хорошо она приближает.

А я думал, что Вы эти условия типа

EUgeneUS в сообщении #1655679 писал(а):

$ |x| \ll 1 / |k|$

выводите из каких-то теоретических соображений.

[EUgeneUS]

EminentVictorians в сообщении #1655726 писал(а):

выводите из каких-то теоретических соображений.

Конечно, это выводится из теоретических соображений.
Подсказка, если "малое" - это бинарное отношение, то
А) что пишем слева понятно - $|x|$
Б) но что пишем справа и из каких соображений?

[EminentVictorians]

EUgeneUS в сообщении #1655728 писал(а):

Б) но что пишем справа и из каких соображений?

Вот я это и хочу выяснить в Вашем подходе. Пока я понял так: Вы выбираете какую-то точность, например как предложил wrest 3%, а затем смотрите (путем прямых вычислений на калькуляторе) насколько малыми должны быть иксы по модулю, чтобы относительная погрешность была 3% или меньше. Но это - не из теоретических соображений.

[EUgeneUS]

EminentVictorians в сообщении #1655731 писал(а):

Пока я понял так: Вы выбираете какую-то точность, например как предложил wrest 3%, а затем смотрите (путем прямых вычислений на калькуляторе) насколько малыми должны быть иксы по модулю, чтобы относительная погрешность была 3% или меньше. Но это - не из теоретических соображений

Вы опять неверно поняли. На Ваши догадки был ответ не "да, так", а "типо того, если утрировать".
Конечно, никто для оценок погрешностей в калькулятор случайные числа не подставляет (разве что только для проверки). Оценки погрешности делают на основе оценок остаточного члена ряда Тейлора.
Это можно делать явно и более-менее строго. А можно "по предыдущему" опыту решения аналогичных задач. Второй способ - имеет бОльшую вероятность ошибиться, конечно, но это не значит, что под ним нет теоретической базы. Она просто "спрятана" в рецептах.

[EminentVictorians]

EUgeneUS, хорошо, тогда можете прямо объяснить, как Вы пришли к условию

EUgeneUS в сообщении #1655679 писал(а):

$ |x| \ll 1 / |k|$

в вот этой задаче:

EUgeneUS в сообщении #1655679 писал(а):

В Вашем примере $x$ - безразмерная величина.
Сделаем его размерной: $x + kx^2$
Тогда
А) Приближенная формула будет такой же: $x$
Б) А вот область применимости этого приближения будет другой. Вместо $|x| \ll 1$, будет $ |x| \ll 1 / |k|$

[EUgeneUS]

EminentVictorians
$x + kx^2 = x (1+ kx)$
Чтобы считать $kx$ малым, должно выполняться $ |kx| \ll 1$ (откуда взялась единица, найдёте?)
И откуда уже $|x| \ll 1/|k|$

-- 23.09.2024, 15:10 --

Еще для наглядности.

1. $ ax + kx^2 = ax (1 + kx/a)$. Тогда $|kx/a| \ll 1$, откуда $|x| \ll | a/k|$
Тут на промежуточном шаге с единицей сравниваем.

2. $ax + kx^2 = x (a + kx)$. Тогда $|kx| \ll |a|$, откуда $|x| \ll | a/k|$
А тут на промежуточном шаге сравниваем с $|a|$, но в финале тоже самое получаем.

[EminentVictorians]

EUgeneUS в сообщении #1655742 писал(а):

$x + kx^2 = x (1+ kx)$
Чтобы считать $kx$ малым, должно выполняться $ |kx| \ll 1$ (откуда взялась единица, найдёте?)
И откуда уже $|x| \ll 1/|k|$

А если бы первоначальная функция была $x+kx^3$, то корень бы появился?

[EUgeneUS]

EminentVictorians в сообщении #1655746 писал(а):

А если бы первоначальная функция была $x+kx^3$, то корень бы появился?

Тут есть нюанс. Попробую объяснить. Но в начале
1. Заметим, что в наших примерах остаточный член ряда Тейлора записан в явном виде - в виде одного слагаемого.
2. Во втором примере напишем так $x + k^2x^3$, чтобы размерность $k$ была одинакова.

Пусть $f(x)$ - исходная функция, $g(x)$ - приближение.
Запишем выражение для относительной погрешности (при линейном приближении):
а) Для $f(x) = x+kx^2$
$\frac{f(x) - g(x)}{f(x)} = 1 - \frac{g(x)}{f(x)} = 1 - \frac{x}{x+kx^2} = 1 - \frac{1}{1+kx} \approx kx$
Здесь $\approx$ - это равно по порядку величины. Тут есть нюанс, который замнём для краткости.

То есть десятичный порядок погрешности определяется ... десятичным порядком отброшенного остаточного члена ряда Тейлора. Если $kx \approx 0.01$, то и погрешность будет порядка одного процента.

б) теперь для $f(x) = x+k^2x^3$
$\frac{f(x) - g(x)}{f(x)} = 1 - \frac{g(x)}{f(x)} = 1 - \frac{x}{x+k^2x^3} = 1 - \frac{1}{1+k^2x^2} \approx k^2x^2$
Пока все то же самое: десятичный порядок погрешности определяется ... десятичным порядком отброшенного остаточного члена ряда Тейлора. Если $(kx)^2 \approx 0.01$, то и погрешность будет порядка одного процента.
Если извлечем корень, то погрешность станет лучше (меньше), чем величина $|kx|$.
Это иллюстрирует простой факт: если требуемая погрешность позволила отбросить линейный член в ряде Тейлора, то и члены с бОльшим порядком малости отбрасываем тем более.

[Утундрий]

EminentVictorians
Математически выражаясь, приближение к функции есть собственно приближение плюс интервал, на котором достигается достаточное приближение. Достаточность приближения формулируется в виде близости функции и её приближения на заданном отрезке по некоторой норме. Так понятней?