2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Область применимости приближения
Сообщение23.09.2024, 12:19 


22/10/20
1185
EUgeneUS в сообщении #1655674 писал(а):
если у Вас есть желание разобраться (а там несложно) с этими вопросами - готов дать свои разъяснения, но в отдельной теме
Есть желание.

EUgeneUS в сообщении #1655679 писал(а):
В Вашем примере $x$ - безразмерная величина.
Сделаем его размерной: $x + kx^2$
Тогда
А) Приближенная формула будет такой же: $x$
Б) А вот область применимости этого приближения будет другой. Вместо $|x| \ll 1$, будет $ |x| \ll 1 / |k|$

Я не особо понимаю, чем Вы руководствуетесь, когда выбираете область применимости приближения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Область применимости приближения
Сообщение23.09.2024, 14:10 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
EminentVictorians в сообщении #1655702 писал(а):
Я не особо понимаю, чем Вы руководствуетесь, когда выбираете область применимости приближения.


Относительной ошибкой, которая получается при применении приближенной формулы.
Конечно, в строгом подходе ошибка должна быть оценена через оценку отброшенного остаточного члена ряда Тейлора.
И должна быть задана граница приемлемой ошибки и неприемлемой.

Но есть простые правила, которых стОит придерживаться:
1. Переменные должны быть "обезразмерены". Тогда их малость описывается, как $|x| \ll 1$
2. Относительная ошибка в этом случае будет порядка $|x|$. Конечно, могут быть клинические случаи, когда вторая (или какая-то другая высшая производная) производная сильно большая получается, но это отдельно проверяется.

В задаче 1411а Демидовича $x$ складывается с $R$, и малость $x$ относительно единицы само по себе ничего не дает - нужна малость $x$ относительно $R$.

-- 23.09.2024, 14:13 --

В "родительской" теме также дал комментарий, чем отличаются бесконечно малые от малых - это просто объекты совершенно разной природы :wink:.

Кроме того, у Вас было превратное представление о смысле задания 1411 (как о нахождении линейного приближения функции). Предлагаю Вам решить задачу 1411в, после чего переосмыслить это мнение. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Область применимости приближения
Сообщение23.09.2024, 14:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
Ну и ещё не лишним будет прикинуть, в каких физических ситуациях могла бы возникнуть приближаемся функция. А не разница ли это ускорений свободного падения на высоте $x$ от сферы радиуса $R$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Область применимости приближения
Сообщение23.09.2024, 14:19 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
Утундрий
Если про задачу 1411а, то это поле диполя на оси диполя, например.
А вот 1411б,в,г - не узнаю в гриме :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Область применимости приближения
Сообщение23.09.2024, 14:20 


22/10/20
1185
EUgeneUS в сообщении #1655719 писал(а):
Относительной ошибкой, которая получается при применении приближенной формулы.
Т.е. Вы буквально начинаете подставлять вместо $x$ конкретные числа и считаете, сколько процентов при них получается относительная ошибка между функцией и её приближенной формулой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Область применимости приближения
Сообщение23.09.2024, 14:23 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
EminentVictorians в сообщении #1655724 писал(а):
Т.е. Вы буквально начинаете подставлять вместо $x$ конкретные числа и считаете, сколько процентов при них получается относительная ошибка между функцией и её приближенной формулой?


Типа того, если утрировать.
В противном случае, от "приближенной формулы" не много пользы, если неизвестно - насколько хорошо она приближает. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Область применимости приближения
Сообщение23.09.2024, 14:27 


22/10/20
1185
EUgeneUS в сообщении #1655725 писал(а):
В противном случае, от "приближенной формулы" не много пользы, если неизвестно - насколько хорошо она приближает.
А я думал, что Вы эти условия типа
EUgeneUS в сообщении #1655679 писал(а):
$ |x| \ll 1 / |k|$
выводите из каких-то теоретических соображений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Область применимости приближения
Сообщение23.09.2024, 14:39 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
EminentVictorians в сообщении #1655726 писал(а):
выводите из каких-то теоретических соображений.


Конечно, это выводится из теоретических соображений.
Подсказка, если "малое" - это бинарное отношение, то
А) что пишем слева понятно - $|x|$
Б) но что пишем справа и из каких соображений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Область применимости приближения
Сообщение23.09.2024, 14:44 


22/10/20
1185
EUgeneUS в сообщении #1655728 писал(а):
Б) но что пишем справа и из каких соображений?
Вот я это и хочу выяснить в Вашем подходе. Пока я понял так: Вы выбираете какую-то точность, например как предложил wrest 3%, а затем смотрите (путем прямых вычислений на калькуляторе) насколько малыми должны быть иксы по модулю, чтобы относительная погрешность была 3% или меньше. Но это - не из теоретических соображений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Область применимости приближения
Сообщение23.09.2024, 14:49 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
EminentVictorians в сообщении #1655731 писал(а):
Пока я понял так: Вы выбираете какую-то точность, например как предложил wrest 3%, а затем смотрите (путем прямых вычислений на калькуляторе) насколько малыми должны быть иксы по модулю, чтобы относительная погрешность была 3% или меньше. Но это - не из теоретических соображений


Вы опять неверно поняли. На Ваши догадки был ответ не "да, так", а "типо того, если утрировать".
Конечно, никто для оценок погрешностей в калькулятор случайные числа не подставляет (разве что только для проверки). Оценки погрешности делают на основе оценок остаточного члена ряда Тейлора.
Это можно делать явно и более-менее строго. А можно "по предыдущему" опыту решения аналогичных задач. Второй способ - имеет бОльшую вероятность ошибиться, конечно, но это не значит, что под ним нет теоретической базы. Она просто "спрятана" в рецептах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Область применимости приближения
Сообщение23.09.2024, 14:53 


22/10/20
1185
EUgeneUS, хорошо, тогда можете прямо объяснить, как Вы пришли к условию
EUgeneUS в сообщении #1655679 писал(а):
$ |x| \ll 1 / |k|$
в вот этой задаче:
EUgeneUS в сообщении #1655679 писал(а):
В Вашем примере $x$ - безразмерная величина.
Сделаем его размерной: $x + kx^2$
Тогда
А) Приближенная формула будет такой же: $x$
Б) А вот область применимости этого приближения будет другой. Вместо $|x| \ll 1$, будет $ |x| \ll 1 / |k|$

 Профиль  
                  
 
 Re: Область применимости приближения
Сообщение23.09.2024, 14:58 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
EminentVictorians
$x + kx^2 = x (1+ kx)$
Чтобы считать $kx$ малым, должно выполняться $ |kx| \ll 1$ (откуда взялась единица, найдёте?)
И откуда уже $|x| \ll 1/|k|$

-- 23.09.2024, 15:10 --

Еще для наглядности.

1. $ ax + kx^2 = ax (1 + kx/a)$. Тогда $|kx/a| \ll 1$, откуда $|x| \ll | a/k|$
Тут на промежуточном шаге с единицей сравниваем.

2. $ax + kx^2 = x (a + kx)$. Тогда $|kx| \ll |a|$, откуда $|x| \ll | a/k|$
А тут на промежуточном шаге сравниваем с $|a|$, но в финале тоже самое получаем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Область применимости приближения
Сообщение23.09.2024, 15:26 


22/10/20
1185
EUgeneUS в сообщении #1655742 писал(а):
$x + kx^2 = x (1+ kx)$
Чтобы считать $kx$ малым, должно выполняться $ |kx| \ll 1$ (откуда взялась единица, найдёте?)
И откуда уже $|x| \ll 1/|k|$
А если бы первоначальная функция была $x+kx^3$, то корень бы появился?

 Профиль  
                  
 
 Re: Область применимости приближения
Сообщение23.09.2024, 18:24 
Аватара пользователя


11/12/16
13812
уездный город Н
EminentVictorians в сообщении #1655746 писал(а):
А если бы первоначальная функция была $x+kx^3$, то корень бы появился?


Тут есть нюанс. Попробую объяснить. Но в начале
1. Заметим, что в наших примерах остаточный член ряда Тейлора записан в явном виде - в виде одного слагаемого.
2. Во втором примере напишем так $x + k^2x^3$, чтобы размерность $k$ была одинакова.

Пусть $f(x)$ - исходная функция, $g(x)$ - приближение.
Запишем выражение для относительной погрешности (при линейном приближении):
а) Для $f(x) = x+kx^2$
$\frac{f(x) - g(x)}{f(x)} = 1 - \frac{g(x)}{f(x)} = 1 - \frac{x}{x+kx^2} = 1 - \frac{1}{1+kx} \approx kx$
Здесь $\approx$ - это равно по порядку величины. Тут есть нюанс, который замнём для краткости. :wink:

То есть десятичный порядок погрешности определяется ... десятичным порядком отброшенного остаточного члена ряда Тейлора. Если $kx \approx 0.01$, то и погрешность будет порядка одного процента.

б) теперь для $f(x) = x+k^2x^3$
$\frac{f(x) - g(x)}{f(x)} = 1 - \frac{g(x)}{f(x)} = 1 - \frac{x}{x+k^2x^3} = 1 - \frac{1}{1+k^2x^2} \approx k^2x^2$
Пока все то же самое: десятичный порядок погрешности определяется ... десятичным порядком отброшенного остаточного члена ряда Тейлора. Если $(kx)^2 \approx 0.01$, то и погрешность будет порядка одного процента.
Если извлечем корень, то погрешность станет лучше (меньше), чем величина $|kx|$.
Это иллюстрирует простой факт: если требуемая погрешность позволила отбросить линейный член в ряде Тейлора, то и члены с бОльшим порядком малости отбрасываем тем более.

 Профиль  
                  
 
 Re: Область применимости приближения
Сообщение23.09.2024, 18:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
EminentVictorians
Математически выражаясь, приближение к функции есть собственно приближение плюс интервал, на котором достигается достаточное приближение. Достаточность приближения формулируется в виде близости функции и её приближения на заданном отрезке по некоторой норме. Так понятней?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group