задача про непрерывность композиции функций

[Alexander__]

Задача повышенной сложности по матанализу 1ого курса. Условие:

Функция $f$ непрерывна на $\mathbb{R}$, а функция $g$ определена на отрезке $[0,1]$. Известно, что для любого $x$ на $[0,1]$ выполнено равенство $f(g(x))=x$. Обязательно ли $g$ непрерывна хотя бы в одной точке?

Пробовал выбрать $g$ как функцию Дирихле на $[0,1]$, но не получается задать $f(x)$.
Вижу, что $f$ является обратной к $g$, но интуитивно, что не могу догадаться до применения какой-то теоремы.
Подскажите путь к решению, пожалуйста.

[mihaild]

Пронумеруйте рациональные числа на отрезке, и скажите, что $g$ на иррациональных равна числу, п на рациональных их номерам. Подберите $f$.
(Прямо так не получится, но если немного переделать то получится)

[Евгений Машеров]

Ещё проще. Для рациональных x $g(x)=x$, для иррациональных $g(x)=-x$
$f(x)=|x|$

[Legioner93]

Евгений Машеров
У вас $g$ в нуле непрерывна

[svv]

Ну, тогда $g(x)=\pm(x+1),\; f(y)=|y|-1$

[Евгений Машеров]

Legioner93 в сообщении #1654650 писал(а):

Евгений Машеров
У вас $g$ в нуле непрерывна

Да, Вы правы. Не обратил внимания на то, что отрезок. Ну, тогда усложним.
Для рациональных $g(x)=1/x$, для иррационльных $g(x)=-1/x$
$f(x)=1/|x|$

[lazarius]

Евгений Машеров в сообщении #1654704 писал(а):

Для рациональных $g(x)=1/x$, для иррационльных $g(x)=-1/x$
$f(x)=1/|x|$

Нас на 1 курсе учили что такая g в 0 неопределена, а такая f имеет в 0 разрыв второго рода.

[Евгений Машеров]

Да, видимо, без использования сдвигов не обойдётся...

[Alexander__]

Legioner93 в сообщении #1654650 писал(а):

Евгений Машеров
У вас $g$ в нуле непрерывна

Пожалуйста, объясните почему в 0 непрерывна. Я понимаю, что отдельно для рациональных и отдельно для иррациональных сходится к 0 справа от 0. Но как из этого следует сходимость к 0 справа от 0 функции $g$?

Нашёл в Зорич В.А. МатАнализ Часть 1 (2002), с.109: Следствие 2. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится любая её подпоследовательность. Но тут же говориться, что "любая", а не про непересекающиеся множества подпоследовательностей, покрывающие исходную последовательность.

[Legioner93]

Alexander__
Воспользуйтесь определением предела функции по Коши

[mihaild]

Alexander__ в сообщении #1655657 писал(а):

Но как из этого следует сходимость к 0 справа от 0 функции $g$?

Докажите, что если в любой окрестности $0$ есть точки как из $A$, так и не из $A$, и оба предела $\lim\limits_{x \to 0, x \in A} f(x)$ и $\lim\limits_{x \to 0, x \not \in A} f(x)$ существуют и равны, то $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$ существует и равен тому же. Просто по определению предела.
Докажите обобщение этого на случай более чем двух, но конечного числа множеств.
Приведите пример, что для бесконечного числа множеств это утверждение может быть неверно.
(для этой задачи это не нужно, но в целом если возникают такие вопросы - то может быть полезно для разбирательств)