2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 задача про непрерывность композиции функций
Сообщение14.09.2024, 17:55 


07/03/13
126
Задача повышенной сложности по матанализу 1ого курса. Условие:

Функция $f$ непрерывна на $\mathbb{R}$, а функция $g$ определена на отрезке $[0,1]$. Известно, что для любого $x$ на $[0,1]$ выполнено равенство $f(g(x))=x$. Обязательно ли $g$ непрерывна хотя бы в одной точке?

Пробовал выбрать $g$ как функцию Дирихле на $[0,1]$, но не получается задать $f(x)$.
Вижу, что $f$ является обратной к $g$, но интуитивно, что не могу догадаться до применения какой-то теоремы.
Подскажите путь к решению, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача про непрерывность композиции функций
Сообщение14.09.2024, 18:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Пронумеруйте рациональные числа на отрезке, и скажите, что $g$ на иррациональных равна числу, п на рациональных их номерам. Подберите $f$.
(Прямо так не получится, но если немного переделать то получится)

 Профиль  
                  
 
 Re: задача про непрерывность композиции функций
Сообщение14.09.2024, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Ещё проще. Для рациональных x $g(x)=x$, для иррациональных $g(x)=-x$
$f(x)=|x|$

 Профиль  
                  
 
 Re: задача про непрерывность композиции функций
Сообщение14.09.2024, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1238
Евгений Машеров
У вас $g$ в нуле непрерывна

 Профиль  
                  
 
 Re: задача про непрерывность композиции функций
Сообщение15.09.2024, 04:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Ну, тогда $g(x)=\pm(x+1),\; f(y)=|y|-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: задача про непрерывность композиции функций
Сообщение15.09.2024, 06:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Legioner93 в сообщении #1654650 писал(а):
Евгений Машеров
У вас $g$ в нуле непрерывна

Да, Вы правы. Не обратил внимания на то, что отрезок. Ну, тогда усложним.
Для рациональных $g(x)=1/x$, для иррационльных $g(x)=-1/x$
$f(x)=1/|x|$

 Профиль  
                  
 
 Re: задача про непрерывность композиции функций
Сообщение15.09.2024, 13:47 


27/10/23
78
Евгений Машеров в сообщении #1654704 писал(а):
Для рациональных $g(x)=1/x$, для иррационльных $g(x)=-1/x$
$f(x)=1/|x|$

Нас на 1 курсе учили что такая g в 0 неопределена, а такая f имеет в 0 разрыв второго рода.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача про непрерывность композиции функций
Сообщение16.09.2024, 08:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Да, видимо, без использования сдвигов не обойдётся... :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: задача про непрерывность композиции функций
Сообщение23.09.2024, 06:43 


07/03/13
126
Legioner93 в сообщении #1654650 писал(а):
Евгений Машеров
У вас $g$ в нуле непрерывна


Пожалуйста, объясните почему в 0 непрерывна. Я понимаю, что отдельно для рациональных и отдельно для иррациональных сходится к 0 справа от 0. Но как из этого следует сходимость к 0 справа от 0 функции $g$?

Нашёл в Зорич В.А. МатАнализ Часть 1 (2002), с.109: Следствие 2. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится любая её подпоследовательность. Но тут же говориться, что "любая", а не про непересекающиеся множества подпоследовательностей, покрывающие исходную последовательность.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача про непрерывность композиции функций
Сообщение23.09.2024, 10:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1238
Alexander__
Воспользуйтесь определением предела функции по Коши

 Профиль  
                  
 
 Re: задача про непрерывность композиции функций
Сообщение23.09.2024, 11:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Alexander__ в сообщении #1655657 писал(а):
Но как из этого следует сходимость к 0 справа от 0 функции $g$?
Докажите, что если в любой окрестности $0$ есть точки как из $A$, так и не из $A$, и оба предела $\lim\limits_{x \to 0, x \in A} f(x)$ и $\lim\limits_{x \to 0, x \not \in A} f(x)$ существуют и равны, то $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$ существует и равен тому же. Просто по определению предела.
Докажите обобщение этого на случай более чем двух, но конечного числа множеств.
Приведите пример, что для бесконечного числа множеств это утверждение может быть неверно.
(для этой задачи это не нужно, но в целом если возникают такие вопросы - то может быть полезно для разбирательств)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group