Нахождение оптимальной оценки в нормальном распределении

[_Yaroslav_]

Случайная величина $\xi$ распределена по нормальному закону $N(\theta^{k},a)$, $\theta>0$. Над случайной величиной произведено $n$ наблюдений. Найти оптимальную оценку параметра $\theta^{k}$.

Решение:

$\xi\sim N(\theta^{k},a)$, $f_{\xi}(x,\theta)=\frac{1}{\sqrt{2a\pi}}\exp(-\frac{(x_{j}-\theta^{k})^{2}}{2a}), \theta>0$

$L(\underline{x},\theta)=\prod_{j=1}^{n}f_{\xi}(x_{j},\theta)=\prod_{j=1}^{n}[\frac{1}{\sqrt{2a\pi}}\exp(-\frac{(x_{j}-\theta^{k})^{2}}{2a})]=\operatorname{const}\cdot\exp(-\frac{1}{2a}\sum_{j=1}^{n}(x_{j}-\theta^{k})^{2})$

$\bar{L}(\underline{x},\theta)=\ln(L(\underline{x},\theta))=\ln(\operatorname{const})-\frac{1}{2a}\sum_{j=1}^{n}(x_{j}-\theta^{k})^{2}$

$\frac{\partial\bar{L}(\underline{x},\theta)}{\partial\theta}=-\frac{1}{2a}\sum_{j=1}^{n}2(x_{j}-\theta^{k})(-k\theta^{k-1})=\frac{nk\theta^{k-1}}{a}(\bar{X}-\theta^{k})$

$a(\theta)=\frac{nk\theta^{k-1}}{a}, T(\underline{x})=\bar{X}, \tau(\theta)=\theta^{k}$

По критерию эффективности $T(\underline{x})=\bar{X}$ - эффективная оценка для $\tau(\theta)=\theta^{k}$, но для $\theta^{2k}$ ее не существует.

$L(\underline{x},\theta)=\operatorname{const}\cdot\exp(-\frac{1}{2a}\sum_{j=1}^{n}(x_{j}-\theta^{k})^{2})=\operatorname{const}\cdot\exp(-\frac{1}{2a}\sum_{j=1}^{n}x_{j}^{2})\cdot\exp(-\frac{1}{2a}\sum_{j=1}^{n}(-2\theta^{k}x_{j}+\theta^{2k})^{2})$

$h(\underline{x})=\operatorname{const}\cdot\exp(-\frac{1}{2a}\sum_{j=1}^{n}x_{j}^{2}), g(T(\underline{x}),\theta)=\exp(-\frac{1}{2a}\sum_{j=1}^{n}(-2\theta^{k}x_{j}+\theta^{2k})^{2})$

По критерию факторизации $T(\underline{x})=\bar{X}$ достаточная статистика.

$E\bar{X}=E[\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_{j}]=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}EX_{j}=\frac{1}{n}n\theta^{k}=\theta^{k}$

$D\bar{X}=D[\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_{j}]=\frac{1}{n^{2}}\sum_{j=1}^{n}DX_{j}=\frac{1}{n^{2}}n a=\frac{a}{n}$

Значит, $\bar{X}\sim N(\theta^{k},\frac{a}{n})$

По критерию эффективности, $\bar{X}$ эффективная оценка для $\theta^{k}$, (*) следовательно, оптимальная оценка для $\theta^{k}$, то есть, $\bar{X}$ полная достаточная статистика.

$H(T): EH(T)=\theta^{2k} \forall \theta>0$

$E\bar{X}^{2}=(E\bar{X})^{2}+D\bar{X}=\theta^{2k}+\frac{a}{n}\neq\theta$

Пусть $H(T)=\bar{X}^{2}-\frac{a}{n}$

$EH(T)=E[\bar{X}^{2}-\frac{a}{n}]=E\bar{X}^{2}-\frac{a}{n}=\theta^{2k}+\frac{a}{n}-\frac{a}{n}=\theta^{2k}$

Значит, $H(T)=\bar{X}^{2}-\frac{a}{n}$ - оптимальная оценка для $\theta^{2k}$

Скажите, пожалуйста, корректен ли переход обозначенный звездочкой (*)? На какую теорему в этом месте можно сослаться?

[Combat Zone]

Ничего не понятно. Точно ли не перепутан порядок параметров в распределении? Что там делает буква $k$, если она вообще не участвует в игре?
Потому что доказательство того, что выборочное среднее - оптимальная оценка матожидания для нормального распределения, не нуждается в таком количестве выкладок, все легко по определению делается, без привлечения каких-то особых результатов.

Ну или я не понимаю ваших затруднений. Да, выборочное среднее несмещенная эффективная оценка матожидания, как бы оно ни было обозначено. Или что-то я не вижу?

[Alex Krylov]

to Combat Zone

Я так понимаю, ТС интересуется, действут ли теорема Лемана-Шеффе в обратном направлении... То есть, следует ли из факта существования несмещенной и эффективной оценки существование полной достаточной статистики. Нет, не следует:

L. Bondesson, On uniformly minimum variance unbiased estimation when no complete sufficient statistics exist
DOI: 10.1007/BF02056900
(См. примеры)

[Combat Zone]

Alex Krylov в сообщении #1655190 писал(а):

действут ли теорема Лемана-Шеффе в обратном направлении...

Так ведь можно так и спросить :) Я на задачу смотрю.

[_Yaroslav_]

Alex Krylov
Скажите, пожалуйста, как тогда доказать полноту достаточной статистики в данном случае? (мой вопрос Вы поняли верно)

[Combat Zone]

https://www.lancaster.ac.uk/staff/korsh ... stics2.pdf Задача 11.2

[Евгений Машеров]

А можно вопрос? Ищется оценка $\theta^k$ или оценка $\theta$?
Если первое - то это обычная задача оценивания матожидания нормально распределённой величины. Показатель степени ни на что не влияет.
А вот если надо оценить тэту, при том, что матожидание случайной величины с ней связано нелинейно - это другая задача. Вроде как расчёты для неё, а в первой строке условие первой задачи, оценить $\theta^k$.