Существование марицы с заданым свойством

[Утундрий]

drzewo в сообщении #1654512 писал(а):

Матрица $B$ симметрична

Точнее, эрмитова.

drzewo в сообщении #1654512 писал(а):

значит унитарным преобразованием пространства может быть диагонализирована.

Угу, спектральная теорема.

drzewo в сообщении #1654512 писал(а):

можете считать, что в формуле $u^*Bu=0,\quad \forall u$ матрица $B$ диагональна. Для диагональной матрицы следствие $B=0$ проверяется тривиально.

Действительно.

drzewo в сообщении #1654503 писал(а):

Вычитаем: $A-A^*=0$.

Здесь матрица антиэрмитова, но мы умеем умножать на мнимую единицу.

Всё ясно, спасибо.

[vpb]

Пусть $u$ --- столбец, у которого на $i$-м месте $x$, на $j$-м $y$, а остальные нули. Легко посчитать, что

$$ u^+ Au=\overline xy a_{ij}+\overline xx a_{ii}+\overline yya_{jj}+\overline yxa_{ji}\,.$$

Значит, правая часть равна $0$ для любых $x,y\in{\mathbb C}$. При $(x,y)=(1,0)$ видим, что $a_{ii}=0$, и аналогично $a_{jj}=0$. Поэтому $\overline xy a_{ij}+\overline yxa_{ji}=0$. Значит, $za_{ij}+\overline za_{ji}=0$ для любого комплексного $z$. При $z=1$ получаем $a_{ij}+a_{ji}=0$, а при $z=i$ получаем $ia_{ij}-ia_{ji}=0$. Значит $a_{ij}=a_{ji}=0$.

(Пардон, коллизия обозначений случилась. Лучше в индексах было писать $k,l$. )

А со спектральной теоремой как-то сложно, и к тому же менее понятно, имхо.

[Утундрий]

vpb в сообщении #1654521 писал(а):

со спектральной теоремой как-то сложно, и к тому же менее понятно

Почему? Приём полностью аналогичен выделению действительной и мнимой частей из комплексного числа.

[vpb]

Утундрий в сообщении #1654597 писал(а):

Почему?

Потому, что, во-первых, используются более сложные средства (спектральная теорема --- не такая уж тривиальная вещь). Во-вторых, рассуждение более длинное. Если его переписать аккуратно, придерживаясь тех же стандартов понятности, которых я обычно придерживаюсь в своих текстах, то оно выйдет весьма длинным. (А то, что был написано в теме --- в основном, рукомахательство с общими словами.)

[drzewo]

vpb в сообщении #1655429 писал(а):

Если его переписать аккуратно, придерживаясь тех же стандартов понятности, которых я обычно придерживаюсь в своих текстах, то оно выйдет весьма длинным.

Каких вы стандартов придерживаетесь, я не знаю, а если придерживаться общепринятых стандартов то и выйдет 5-7 строчек. Про <<весьма длинным>> -- это пустое.

-- 20.09.2024, 22:16 --

vpb в сообщении #1655429 писал(а):

спектральная теорема --- не такая уж тривиальная вещь

бросьте, конечномерная спектральная теорема для самосопряженного оператора -- нетривиальная вещь -- смешно

[nnosipov]

vpb в сообщении #1654521 писал(а):

Значит, $za_{ij}+\overline za_{ji}=0$ для любого комплексного $z$.

Далее я бы просто сказал: если линейная форма тождественно равна нулю всюду, то она имеет нулевые коэффициенты. И я также не понимаю, зачем здесь нужны какие-то спектральные теоремы (особенно при обобщении задачи на матрицы над произвольным полем).

[Утундрий]

nnosipov
Знаете, математика это не всегда "вывести всё с нуля". Обычно бывает достаточно свести к общепризнанной теореме.