Существование марицы с заданым свойством

[Osmiy]

Мне нужно доказать, что не существует ненулевой матрицы $M$, для которой выполняется свойство $V^\dagger M V = 0$ для произвольных комплексных векторов $V$.
Если разложить вектор на собственные вектора, то для выполнения равенства для произвольных коэффициентов разложения нужно чтобы все собственные числа были нулевыми. Значит матрица $M$ нильпотентная, а её набор с.в. неполный. Т.е. всегда существует вектор, для которого свойство $V^\dagger M V = 0$ выполнятся не будет.
Правильно?

Еще вопрос. Нет ли готовой доказанной теоремы по этому поводу? Чтобы мне не расписывать доказательство в статье, а просто сослаться на теорему.

[drzewo]

[

Osmiy в сообщении #1654482 писал(а):

Мне нужно доказать, что не существует ненулевой матрицы $M$, для которой выполняется свойство $V^\dagger M V = 0$ для

кососимметрическая матрица подойдет?

-- 13.09.2024, 18:04 --

Правильная формулировка следующая. Пусть квадратная матрица $A$ симметрична $A^*=A$ и для любого вектора $u$ верно равенство $u^*Au=0$. Тогда $A=0$

[Osmiy]

drzewo в сообщении #1654484 писал(а):

кососимметрическая матрица подойдет?

Нет. Она только для вещественных векторов работает.

[drzewo]

это в каком смысле?

[Osmiy]

Свойство $V^\dagger M V = 0$ для антисимметричной матрицы выполняется только для вещественных векторов, для комплексных векторов из-за наличия операции сопряжения это свойство уже не выполняется.

[drzewo]

Я думал у вас крест это комплексное сопряжение которое я обозначаю звездой а так не понимаю что вы говорите

-- 13.09.2024, 18:56 --

$A^*=\overline A^T$

[Osmiy]

"Крест" - это сопряжение и транспонирование.

[drzewo]

Теорема.

$$(u^*Au=0\quad\forall u)\Longleftrightarrow A+A^*=0$$

[Osmiy]

Простейшая проверка говорит, что вы ошибаетесь

$$\begin{pmatrix} 1 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\i \end{pmatrix} = 2i$$

-- 13.09.2024, 20:45 --

Антисимметричная матрица работает только для вещественных векторов

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix} = 0$$

[drzewo]

да, я не прав надо аккуратней

-- 13.09.2024, 20:10 --

я рассуждаю так. Пусть $u^*Au=0$ тогда , и $u^*A^*u=0$. Складываем $u^*(A+A^*)u=0$ следовательно $A+A^*=0$
Это в одну сторону.

-- 13.09.2024, 20:13 --

Вычитаем: $A-A^*=0$.

-- 13.09.2024, 20:14 --

Вроде бы доказано, что если $u^*Au=0\quad \forall u$ то $A=0$

-- 13.09.2024, 20:15 --

Симметрическая и кососимметрическая матрица приводятся к диагональному виду унитарным преобразованием.

[Osmiy]

drzewo
Ничего если я украду ваше доказательство для статьи?

[drzewo]

конечно :)

[Osmiy]

Спасибо.

[Утундрий]

drzewo в сообщении #1654503 писал(а):

Пусть $u^*Au=0$ тогда , и $u^*A^*u=0$. Складываем $u^*(A+A^*)u=0$ следовательно $A+A^*=0$

Сомнительное какое-то "следовательно". Почему бы тогда сразу из первого равенства не "проследовать" $A=0$?

[drzewo]

Давайте подробней. Мы получили, что $u^*Bu=0,\quad \forall u,\quad B=A+A^*$.
Матрица $B$ симметрична, значит унитарным преобразованием пространства может быть диагонализирована. Т.е. можете считать, что в формуле $u^*Bu=0,\quad \forall u$ матрица $B$ диагональна. Для диагональной матрицы следствие $B=0$ проверяется тривиально.