2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Метрический тензор для ортонормированных полярных координат
Сообщение13.09.2024, 23:31 


15/08/24
6
Возьмем точку на плоскости, и построим на этой же плоскости всевозможные окружности с центром в этой точке. Теперь, определим в каждой точке плоскости локальный базис таким образом: базисные векторы единичной длины $\overrightarrow e_1$ и $\overrightarrow e_2$ пусть будут направлены один перпендикулярно, а другой по касательной к окружности, проходящей через выбранную точку. Получим систему координат, весьма схожую с полярной.

Теперь: метрический тензор в этих координатах, по определению:
$$g_{ij} = \overrightarrow e_i \cdot\overrightarrow e_j =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}$$

Отсюда видно, что коэффициенты Ламе системы координат:
$$H_1=1$$
$$H_2=1$$

Тогда выражение, например, градиента в таких координатах должно быть:
$$\nabla f=\frac 1 H_1 \frac{\partial f}{\partial x^1}\overrightarrow e_1+\frac 1 H_2 \frac{\partial f}{\partial x^2}\overrightarrow e_2 = \frac{\partial f}{\partial x^1}\overrightarrow e_1+ \frac{\partial f}{\partial x^2}\overrightarrow e_2$$
Получается, будто формула вычисления градиента в такой системе координат нисколько не отличается от формулы в декартовой, что мне кажется странноватым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрический тензор для ортонормированных полярных координат
Сообщение13.09.2024, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
fizGSE в сообщении #1654540 писал(а):
метрический тензор в этих координатах, по определению:
Пересмотрите определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрический тензор для ортонормированных полярных координат
Сообщение14.09.2024, 00:36 


21/12/16
721
fizGSE в сообщении #1654540 писал(а):
базисные векторы единичной длины $\overrightarrow e_1$ и $\overrightarrow e_2$ пусть будут направлены один перпендикулярно, а другой по касательной к окружности, проходящей через выбранную точку

векторные поля $e_1, e_2$ не являются базисными векторными полями какой-либо системы координат поскольку они не коммутируют.
Соответственно, вот это
fizGSE в сообщении #1654540 писал(а):
:
$$g_{ij} = \overrightarrow e_i \cdot\overrightarrow e_j =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}$$

не есть метрический тензор

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрический тензор для ортонормированных полярных координат
Сообщение14.09.2024, 00:37 


15/08/24
6
Пожалуй, для ясности стоит пояснить, почему в принципе возник этот вопрос. Дело в том, что на лекции преподаватель нашел компоненты градиента функции $f(r,\theta)$ $\operatorname{grad}(f)_r$ и $\operatorname{grad}(f)_{\theta}$ из формулы для градиента в полярных координатах:
$$\nabla f= \frac{\partial f}{\partial r}\overrightarrow e_r+\frac 1 r \frac{\partial f}{\partial \theta}\overrightarrow e_{\theta}$$
Затем, чтобы найти модуль этого вектора, он воспользовался формулой $|\overrightarrow{\operatorname{grad}(f)}|=\sqrt{{\operatorname{grad}(f)_r}^2+{\operatorname{grad}(f)_{\theta}}^2}$, хотя, как мне показалось, следовало было бы использовать формулу с учётом метрики полярных координат:
$$|\overrightarrow{\operatorname{grad}(f)}|=\sqrt{{\operatorname{grad}(f)_r}^2+r^2{\operatorname{grad}(f)_{\theta}}^2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрический тензор для ортонормированных полярных координат
Сообщение14.09.2024, 05:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12415
Странный лектор. Или рассеянный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрический тензор для ортонормированных полярных координат
Сообщение14.09.2024, 06:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
Утундрий в сообщении #1654549 писал(а):
Странный лектор. Или рассеянный.
Я бы скорее грешил на студента, который записал с ошибками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрический тензор для ортонормированных полярных координат
Сообщение14.09.2024, 08:17 


21/12/16
721
fizGSE в сообщении #1654544 писал(а):
чтобы найти модуль этого вектора, он воспользовался формулой $|\overrightarrow{\operatorname{grad}(f)}|=\sqrt{{\operatorname{grad}(f)_r}^2+{\operatorname{grad}(f)_{\theta}}^2}$

все верно, если $e_1,e_2$ -- ортонормированный базис и $a=a_1e_1+a_2e_2$ то $|a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$

-- 14.09.2024, 09:20 --

fizGSE в сообщении #1654544 писал(а):
формулы для градиента в полярных координатах:
$$\nabla f= \frac{\partial f}{\partial r}\overrightarrow e_r+\frac 1 r \frac{\partial f}{\partial \theta}\overrightarrow e_{\theta}$$

это тоже верно при условии, что $e_r=\frac{\partial }{\partial r},\quad e_\theta=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta}$,
где $r,\theta$ -- полярная система координат

-- 14.09.2024, 09:25 --

при этом $|\nabla f|=\sqrt{\Big( \frac{\partial f}{\partial r}\Big)^2+\Big( \frac{\partial f}{\partial \theta}\Big)^2\frac{1}{r^2}}$

-- 14.09.2024, 10:10 --

Вообще полезно сначала фундаментальные вещи выучить, а уж потом базисные векторы перенормировать
$$\Big\langle\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial x^j}\Big\rangle=g_{ij},\quad \nabla f=g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j},\quad |\nabla f|^2=g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^i},\quad g^{ij}g_{ik}=\delta_k^j$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрический тензор для ортонормированных полярных координат
Сообщение15.09.2024, 12:53 


15/08/24
6
drzewo в сообщении #1654554 писал(а):
fizGSE в сообщении #1654544 писал(а):
Вообще полезно сначала фундаментальные вещи выучить, а уж потом базисные векторы перенормировать
$$\Big\langle\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial x^j}\Big\rangle=g_{ij},\quad \nabla f=g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^j},\quad |\nabla f|^2=g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^i},\quad g^{ij}g_{ik}=\delta_k^j$$


По такой формуле для расчёта модуля градиента действительно выходит то же значение, что и на лекции, спасибо. В остальных не вполне понимаю, конечно, значения "пустых" частных производных, но это уже только мой недостаток знаний, который надо восполнять)

 Профиль  
                  
 
 Re: Метрический тензор для ортонормированных полярных координат
Сообщение15.09.2024, 13:15 


21/12/16
721
<<пустая производная>> -- это базисный вектор. Мотивация для такого обозначения состоит в следующем.
Пусть $M$ -- это многообразие с локальными координатами $x=(x^1,\ldots,x^m)^T$. Зададим на многообразии кривую $x=x(t)$ и функцию $f=f(x)$. Следующая формула инвариантна для любой кривой и любой функции
$$\frac{d}{dt}f(x(t))=\Big(\dot x^i\frac{\partial }{\partial x^i}\Big)f(x(t)).$$
Справа в больших скобках стоит разложение вектора $\dot x$ по базису $\frac{\partial }{\partial x^i}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group