Гармонический осциллятор и принцип наименьшего действия

[Утундрий]

Geen
Мнится мне, что зависит сие от масштаба, который пока что никак не фиксирован. Если энергия много больше энергии нулевого состояния, то мегастрелка одна. А если близка, то мегастрелок ноль.

[drzewo]

Можно предложить следующий общий подход к такого рода задачам, потенциал может быть даже разрывной функцией.

Пусть пространство $\mathbb{R}^m$ разделено на две части гиперповерхностью $S=\{f(x)=0\}$, где $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ -- гладкая функция, $$\nabla f\mid_{S}\ne 0;\quad D_+=\{f>0\},\quad D_-=\{f<0\},\quad \mathbb{R}^m=S\cup D_+\cup D_-.$
Векторные поля $v_{\pm}\in C^1(\overline D_{\pm})$ таковы, что
$(v_\pm,\nabla f)>0$ при $x\in S$.

Предположим, что решение $x_-(t)\in \overline D_-$ системы $\dot x=v_-$ достигает гиперповерхности $S:\quad x_-(\hat t)\in S.$
Пусть $x_+(t)\in\overline D_+$ -- решение системы $\dot x=v_+$ с начальным условием $x_+(\hat t)=x_-(\hat t)$.

Непрерывную функцию

$$ x (t)= \left\{\begin{array}{lr} x_-(t), & \text{for } t\le \hat t\\ x_+(t), & \text{for } t>\hat t\\ \end{array} $$

естественно считать решением системы

$$ \dot x = \left\{\begin{array}{lr} v_+, & \text{for } x\in D_+\\ v_-, & \text{for } x\in D_-\\ \end{array} $$

[Red_Herring]

Цитата:

Все украдено до нас

Тут не дифференциальные уравнения, а дифференциальные включения

$$\frac{d x}{dt} \in K(x,t)$$

где $K(x,t)$ это замкнутый конус, обладающий свойством полунепрерывноси

$$(x_n,t_n)\to (x,t) \implies \limsup K(x_n,t_n)\subset K(x,t).$$

$x(t)$ должна быть дифференцируем п.в.

Такие включения часто появляются в задачах распространения коротких волн для систем с характеристиками переменной кратности (например, кристаллоптики или анизотропный упругости) или дифракции.

[amon]

Theoristos в сообщении #1653774 писал(а):

Какая, согласно принципу действия, будет траектория $x(t)$,и какое значение действия $S$ достигается для этой траектории к моменту времени $t_{end}=4\pi$?

Давайте все-таки сформулируем к 4-й странице обсуждения принцип наименьшего действия применительно к данной задаче. Он гласит, что траектория, начинающаяся в точке $x_0,$ заканчивающаяся в точке $x_1$ и проходимая за время $t,$ является точкой стационатности функционала
$S[x]=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{t}(\dot{x}^2(\tau)-x^2(\tau))d\tau.$
T.e. $x(t)$ удовлетворяет уравнению
$\ddot x+x=0$
с граничными условиями
$x(0)=x_0,\quad x(t)=x_1.$
Из этого следует, что такая траектория не обязана обеспечивать экстремум функционала действия, поскольку условие $\frac{\delta S}{\delta x(t)}=0$ не является достаточным условием экстремума. Кроме того, условие
$x(0)=1,\quad\dot x(0)=0$
не совпадает с условием закрепленных концов. Нам повезло, такая траектория соответствует некой траектории с закрепленными концами, но сравнивать действие на ней надо со всеми траекториями, проходящими через две какие-то точки нашей траектории за такое же время. Траектория $x(t)=1$ для этого не годится. Она никогда не придет в точку $x=-1.$

[Red_Herring]

amon в сообщении #1653872 писал(а):

данной задаче

В данной задаче (в оригинальной постановке) потенциал все таки другой (в области, куда траектория с заданными начальными данными никогда не придет). И, конечно, принцип наименьшего действия это дань исторической традиции. Правильно принцип стационарного действия. И если для классической механики это и принцип локально минимального действия (но, например, стационарное расстояние на сфере по дуге большого круга, но только одна из них будет минимальной. А для задач, описываемых УЧП, там никаких минимальных траекторий просто нет).

[drzewo]

amon
Нарисуйте фазовый портрет этой задачи на плоскости $(x,\dot x)$. Прямо по очереди в кажой из областей
$\\{x<-2\},\quad\{-2<x<2\},\quad \{x>2\}$

-- 09.09.2024, 02:16 --

и не забудьте стрелки на кривых поставить:)

[Red_Herring]

Red_Herring в сообщении #1653870 писал(а):

Такие включения часто появляются в задачах распространения коротких волн для систем с характеристиками переменной кратности (например, кристаллоптики или анизотропный упругости) или дифракции.

Вот пример: две среды с разными постоянными скоростями распространения света. Если была только одна среда и область была сильно выпукла, то среди возможных волн была бы скользящая волна, распространяющаяся по геодезической границы. А теперь добавим вторую среду, с большей скоростью. Тогда, при падении волны из первой среды происходили бы отражение и преломление. Но скользящая волна "падает" в каждой своей точке и потому в каждой ее точке отделяется волна во вторую среду.

[Утундрий]

drzewo
Это такой сложный способ сказать: "Решим ОДУ в обеих областях, а на границе непрерывно склеим?"

[drzewo]

Утундрий в сообщении #1653877 писал(а):

Это такой сложный способ сказать: "Решим ОДУ в обеих областях, а на границе непрерывно склеим?"

В трех областях. Это такой простой способ увидеть картину в целом и понять где возникают проблемы и почему.

[amon]

Red_Herring в сообщении #1653874 писал(а):

В данной задаче (в оригинальной постановке) потенциал все таки другой (в области, куда траектория с заданными начальными данными никогда не придет).

Согласен, поторопился. Должно быть
$U=\begin{cases} \frac{x^2}{2}, & \text{если $|x|<2$;} \\ 2, & \text{если $|x|\ge 2$.} \end{cases}.$
Но на негожести траектории $x=1$ для сравнения значений действия это никак не сказывается.

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1653877 писал(а):

Это такой сложный способ сказать: "Решим ОДУ в обеих областях, а на границе непрерывно склеим?"

В данном случае оно так, но м.б. что траектория идет по границе (и что такое траектория тогда?)

[realeugene]

Red_Herring в сообщении #1653874 писал(а):

Правильно принцип стационарного действия.

А как можно из принципа стационарного действия получить существование траектории $x(t)=0$ на интервале времени $t \in [0, 1]$ в потенциале $U(x)=|x|$?

Вообще, какие обычно накладывают условия гладкости на функцию Лагранжа, и в каком классе функций ищут решения, чтобы можно было задавать недифференцируемые лагранжианы и как-то обходить несуществование в отдельных точках уравнения Эйлера-Лагранжа?

[Red_Herring]

realeugene Существует куча негладких интересных функций, особенно нескольких переменных. Их не покрывает стандартная теория, но можно, например аппроксимировать потенциал гладким, и смотреть, что получится в пределе.

[amon]

drzewo в сообщении #1653875 писал(а):

Нарисуйте фазовый портрет этой задачи

Вложение:

CutOsc.png [ 13.58 Кб | Просмотров: 368 ]

Нарисовал, и... Стрелочки лень рисовать было. Все с $p>0$ бежит слева направо, с $p<0$ наоборот.

[drzewo]

amon в сообщении #1653923 писал(а):

Нарисовал,

спасибо

amon в сообщении #1653923 писал(а):

и...

у нас тут две вертикальные прямые, которые я в своем предыдущем посте назвал $S$. Условие

drzewo в сообщении #1653864 писал(а):

$(v_\pm,\nabla f)>0$ при $x\in S$.

выполнено всюду, кроме точек $x=\pm2,\quad \dot x=0$ и всюду кроме этих точек фазовые кривые непрерывно сопрягаются так, что получается непрерывный фазовый поток с теоремами существования единственности и непрерывной зависимости от начальных данных. На фазовой кривой, содержащей данные точки, этих теорем нет. Вот вам условие хорошего поведения системы на разрывах градиента потенциала.
Теперь вариационный принцип. Ясно, что ставить краевыми условиями $x=\pm 2$ не надо по объективным причинам. Давайте возьмем какие-нибудь другие краевые условия и сделаем, например, так:

$$x(t_1)=x_1\in(-2,2),\quad x(t_2)=x_2>2,\quad \delta\Big(\int_{t_1}^{t'}Ldt+\int_{t'}^{t_2}Ldt\Big)=0$$

Варировать будем на множестве непрерывных кусочно гладких функций $x(\cdot )$ вида
$x(t)\in(-2,2)$ при $t\in[t_1,t')$;
$x(t)>2$ при $t\in(t',t_2]$;
$x(t')=2$.
Причем, варировать надо и $t'$ тоже: $\delta t'\ne 0$.

(Оффтоп)

Полную математическую аккуратность я не навожу, хотя это несложно сделать, пишу только идеологию.

UPD

drzewo в сообщении #1653934 писал(а):

Причем, варировать надо и $t'$ тоже: $\delta t'\ne 0$.

Вот тут, похоже, будут сюрпризы.