Гармонический осциллятор и принцип наименьшего действия

[Theoristos]

realeugene в сообщении #1653827 писал(а):

обычно в механике с ничем не ограниченной кинетической энергией экстремаль - минимум. Всегда можно увеличить действие, быстро дёрнувшись в сторону и тут же вернувшись обратно

Нет, тут не всё так просто.
Как мы показали, даже для такого простого случая - это нифига не минимум, в строгом понимании.
Но, понятно, и не максимум.

[realeugene]

Theoristos в сообщении #1653828 писал(а):

Как мы показали, даже для такого простого случая - это нифига не минимум, в строгом понимании.

Локальный миниум. Где-то встречал прямое сведение второго закона Ньютона к принципу наименьшего действия в виде условия экстремума. К сожалению, не могу вспомнить, где именно и какие там нюансы, но можно подумать самостоятельно. После чего закон движения нескольких таких независимых систем сводится к принципу наименьшего действия для их суммарного действия. Который минимизируется независимо по траекториям этих систем, что удобно. Но всегда минимум локален.

[Theoristos]

... то, что для осциллятора при некоторых граничных условиях, уравнения движения полученные из вариационного принципа могут давать отсутствие экстремальных траекторий, или континуум экстремальных траекторий - отдельная хохма.

Вот любопытно, есть ли ещё другие потенциалы с такими же свойствами.

[realeugene]

Theoristos в сообщении #1653834 писал(а):

континуум экстремальных траекторий

Это как?

Отсутствие экстремума означает отсутствие траектории с требуемыми свойствами. Это нормально. Только на экстремальной траектории выполняются законы Ньютона.

[Theoristos]

realeugene в сообщении #1653832 писал(а):

Theoristos в сообщении #1653828 писал(а):

Как мы показали, даже для такого простого случая - это нифига не минимум, в строгом понимании.

Локальный миниум.

А как вы определяете "локальный минимум" для функций?
Углублением разложения по вариации, чтоб член при второй степени был сугубо положителен?
Так это, насколько помню, не всегда работает.

[realeugene]

Theoristos в сообщении #1653837 писал(а):

А как вы определяете "локальный минимум" для функций?

Для любой бесконечно малой вариации приращение функции неотрицательно.

[Theoristos]

realeugene в сообщении #1653835 писал(а):

Theoristos в сообщении #1653834 писал(а):

континуум экстремальных траекторий

Это как?

А при начальном $x=0$, конечном $x=0$ и времени равном $\pi\omega$ подходят решения с произвольной рациональной амплитудой A. Бери какую хошь.

Любопытно, а есть ли потенциалы (возможно в многомерии), где количество подходящих траекторий даже не $R$, а $R^2$, или больше?

realeugene в сообщении #1653835 писал(а):

Отсутствие экстремума означает отсутствие траектории с требуемыми свойствами. Это нормально.

Нормально, но неожиданно, когда начинают с поиска среди всех траекторий от $(t_0,x_0)$ к $(t_1,x_1)$ c "минимальным" действием... а таковой в определённом смысле не существует.

Прям дилемма поручика Ржевского - просто траекторий навалом, у действия даже нижняя грань может быть, а минимума - того, как той ж...

-- Вс сен 08, 2024 18:51:22 --

realeugene в сообщении #1653839 писал(а):

Theoristos в сообщении #1653837 писал(а):

А как вы определяете "локальный минимум" для функций?

Для любой бесконечно малой вариации приращение функции неотрицательно.

Это не строго - ибо до первого порядка оно ноль, до второго по разному, а до третьего - хоть +, хоть -
И где останавливаться?

[realeugene]

Theoristos в сообщении #1653840 писал(а):

Это не строго - ибо до первого порядка оно ноль, до второго по разному, а до третьего - хоть +, хоть -

Ну вот если в первом порядке не ноль, то существует направление дальнейшего спуска, то есть это не минимум. Во втором порядка если максимум, то можно увеличить действие, добавив быстрый скачок в сторону и обратно. Так что в механике с положительной кинетической энергией в лагранжиане условие экстремума - неотрицательность второй производной. По поводу третьей производной при нулевой второй уже видимо как и с первой, будет направление спуска.

-- 08.09.2024, 19:59 --

Theoristos в сообщении #1653840 писал(а):

А при начальном $x=0$, конечном $x=0$ и времени равном $\pi\omega$ подходят решения с произвольной рациональной амплитудой A. Бери какую хошь.

Ну да, но у каждой своя начальная скорость и своя полная энергия. Так что все траектории разные, только неразличимы этим принципом.

Но возможно достаточно зануления первой вариации, не буду утверждать что недостаточно. В квантовой механике действие эквивалентно фазе, и достаточно постоянства фазы на близких траекториях, чтобы они интерферировали конструктивно.

[Theoristos]

realeugene в сообщении #1653841 писал(а):

Ну да, но у каждой своя начальная скорость и своя полная энергия. Так что все траектории разные, только неразличимы этим принципом.

Именно. В принципе про начальные-конечные точки, и вроде всё, финита.
А тут ещё такой букет разнообразий вдруг вылазит.
Кому верить, как из экстремальных выбирать наиболее экстремистскую...

[Утундрий]

Theoristos в сообщении #1653840 писал(а):

при начальном $x=0$, конечном $x=0$ и времени равном $\pi\omega$ подходят решения с произвольной рациональной амплитудой

Ну, это просто следствие "талантливо поставленных" гранусловий.

[realeugene]

Theoristos в сообщении #1653843 писал(а):

Кому верить, как из экстремальных выбирать наиболее экстремистскую...

Какая по кайфу - такую и брать. Единственное, в процессе движения перескочить с одной траектории на другую уже не получится. Запрещено.

Законы природы - это запреты. Не сможет школьник допрыгнуть до Луны, как бы ни старался. Но всё, что не запрещено - то разрешено. По крайней мере, пока не наткнулись новый запрет, и не сформулировали новый закон природы.

[Утундрий]

Если шагнуть в область поэзии (континуального интеграла), то экстремальность важна только с той точки зрения, что насобирает на себя кучу почти одинаково направленных стрелочек (комплексных амплитуд), образуя одну мегастрелку. С этой точки зрения не важно, минимум там, максимум или вовсе седло. Даже единственность не важна. В двухщелевом эксперименте, например, таких мегастрелок получается две.

[Cos(x-pi/2)]

Похоже, здесь уже всё выяснили. Может быть напрасно, но рискнул-таки написать то, что и мне при этом думалось.

(Оффтоп)

Вот как вижу ситуацию на знакомом мне школьном уровне (аналитическую механику нам на радиофизическом факультете Политеха преподавали совсем "так себе", если не ещё хуже, да и то почти всё уже позабывалось, поэтому прошу извинить за нестрогость и тривиальность):

Нас учили примерно вот как. "Принцип действия" гласит, что для отыскания истинной траектории $x(t)$ надо приравнять нулю вариацию действия, вычисляемого от $t_1$ до $t_2$ при заданных $x(t_1)=x_1$ и $x(t_2)=x_2.$ Условия на скорость $\dot{x}$ при этом не ставятся. Результат эквивалентен уравнению Лагранжа, которое в рассматриваемом примере совпадает с ньютоновским уравнением движения $\ddot{x}=-\frac{dU}{dx}.$

Т.е. уравнение движения - это уже готовый результат "принципа действия"; оценки самой величины действия, насколько понимаю, не могут изменить или отменить этот результат. И да, решениям уравнения движения соответствуют локальные экстремумы действия, а не обязательно глобальный минимум.

Решение уравнения движения c условиями $x(t_1)=x_1,$ $x(t_2)=x_2$ не обязательно единственное.

Например, в случае гармонического осциллятора, колеблющегося с периодом $2\pi,$ уравнению движения с условиями $x(0)=0,$ $x(2\pi)=0$ удовлетворяют разные колебания - с разными амплитудами. (P.S. пока я писал, Theoristos уже привёл этот пример.)

Единственное решение отбирается заданием положения $x(t_1)$ и скорости $\dot{x}(t_1).$ Это наглядно видно на фазовой плоскости $(x,\dot{x}).$ В случае гармонического осциллятора с периодом $2\pi$ каждая фазовая траектория (окружность с центром $x=0,\,\dot{x}=0)$ проходит в каждом периоде через точку $x=0,$ и разные траектории различаются своими "радиусами" $\dot{x}$ при $x=0.$

В примере с более "хитрым" потенциалом, для того чтобы образовались два разных решения при одних и тех же граничных условиях $x(0)=1,$ $x(2\pi)=1,$ можно потенциал гармонического осциллятора $U=x^2/2,$ как уже говорил Theoristos, гладко сшить с некоей пологой частью (можно затем ещё и загнуть ему рога круто вверх до небес, чтобы вообще все решения уравнения движения стали бы периодическими колебаниями, т.е. чтобы возвраты обязательно были бы). Так, что: на фазовой плоскости будет траектория в виде окружности, по которой один оборот от и до точки с $x=1,$ пробегается за время $2\pi,$ и найдётся вокруг неё фазовая траектория негармонического колебания с большим периодом, участок на которой от и до $x=1$ изображающая точка проползает за то же самое время $2\pi.$

[realeugene]

realeugene в сообщении #1653816 писал(а):

Да, достаточно взять потенциал гармонического осциллятора и доказать, что к точкам с энергией больше начальной не ведут экстремали.

Рассмотрим в потенциале гармонического осциллятора траектории, начинающиеся при $x=1$ в момент времени $t=0$, заканчивающиеся при $x=2$ в момент времени $t=T$, с дополнительным условием $\dot x = 0$. При этом траектории должны быть непрерывными, но не обязательно дифференцируемыми.

Без последнего условия на нулевую начальную скорость оптимальные траектории с локальным минимумом действия известно какие: тело стартует из заданного положения как раз с нужной скоростью, чтобы в нужный момент долететь по закону движения гармонического осциллятора в нужную точку. Но у нас требование нулевой начальной скорости. Рассмоторим следующее семейство траекторий, удовлетворяющих дополнительному требования нулевой начальной скорости: в течение малого времени $\varepsilon$ тело неподвижно, а потом мгновенно приобретает нужную скорость и летит в конечную точку.

Так как все эти траектории близки к оптимальной, действие на них тоже близко к минимальному. И при $\varepsilon \to 0$ траектории стремятся к оптимальной. Но ни при каком $\varepsilon > 0$ эти траектории не совпадают с оптимальной, и действие на них всегда больше, чем на оптимальной траектории с ненулевой сразу начальной скоростью. Так что, минимум действия не достижим в рассмотренном классе траекторий с нулевой начальной скоростью.

[Geen]

Утундрий в сообщении #1653849 писал(а):

таких мегастрелок получается две.

А в данном случае?