Гармонический осциллятор и принцип наименьшего действия

[Theoristos]

realeugene в сообщении #1653799 писал(а):

Theoristos в сообщении #1653798 писал(а):

То есть его вроде бы можно ещё уменьшить

Действие на экстремальной траектории не обязано быть глобальным минимумом. Но необходимо, чтобы оно было локальным экстремумом. Именно эта локальная экстремальность эквивалентна в механике законам Ньютона.

Да, но у нас есть ограничение снизу, так что должна существовать ещё одна траектория, с минимальным значением функционала.
А ту, экстремальную, но не минимальную предлагаю выбросить :)

Кстати, почему вы сменили принцип наименьшего действия на принцип экстремального действия?

[Утундрий]

Theoristos в сообщении #1653800 писал(а):

Откуда это следует?

На поле время-координата мы вольны рисовать любые траектории, лишь бы они удовлетворяли граничным условиям и были достаточно гладки.

Всё же траекторией принято называть экстремаль функционала действия. А вот кривые мы действительно можем рисовать какие угодно. Но в таком случае непонятно, при чём здесь какая-то динамическая система?

[Theoristos]

realeugene в сообщении #1653801 писал(а):

Theoristos в сообщении #1653800 писал(а):

Мы уже нашли одну такую неминимальную, так что минимальная должна иметь действие где-то в диапазоне от нижнего ограничения и до этой.

Совершенно не обязательно. Так как область открыта, минимума там может и не быть.

Что значить "область открыта"?
Функционал явно ограничен снизу, значением $-2 \Delta t$.
Видно, что какая-то траектория, удовлетворяющая граничным условиям существует, с действием равным $-1/2 \Delta t$.
Так что минимум вроде бы должен лежать между этими значениями.

[realeugene]

Theoristos в сообщении #1653802 писал(а):

Да, но у нас есть ограничение снизу, так что должна существовать ещё одна траектория, с минимальным значением функционала.

только на компакте, но не в области.

Theoristos в сообщении #1653802 писал(а):

Кстати, почему вы сменили принцип наименьшего действия на принцип экстремального действия?

Так меня учили в школе. Ну и другие воспоминания из детства про связь вариационных принципов с ньютоновской и квантовой механиками.

-- 08.09.2024, 18:40 --

Theoristos в сообщении #1653806 писал(а):

Что значить "область открыта"?

Это значит, что множество траекторий открытое, и для любой траектории в этом множестве существует бесконечно близкая траектория с ещё меньшим значением действия.

[drzewo]

Theoristos в сообщении #1653793 писал(а):

А сколько раз должен быть дифференцируем лагранжиан для таких задач?

по крайней мре $C^1$, иначе я не умею определять решение уравнений Лагранжа. И критические точки функционала <<Действие>> определять не умею.

Theoristos в сообщении #1653793 писал(а):

Обычно в учебниках по физике про это ограничение ничего не пишут.

естеснно

[Theoristos]

Утундрий в сообщении #1653803 писал(а):

Всё же траекторией принято называть экстремаль функционала действия. А вот кривые мы действительно можем рисовать какие угодно. Но в таком случае непонятно, при чём здесь какая-то динамическая система?

Не совсем.
Мы берём/"рисуем" всевозможные траектории, и ищем в этом пуке ту, которая имеет экстремум/минимум действия. И называем её "настоящей траекторией", той по которой движется частица.
Искать можно по-разному, в частности шевеля уже что-то найденное для уменьшения значения.

Вот и вопрос -
* мы уже нашли в пуке экстремальную траекторию с $S=0$.
* мы уже нашли в пуке траекторию с $S=-2\pi$, которую если пошевелить - это значение $S$ можно ещё уменьшить.
* мы знаем, что сколько не шевели, ниже $S=-8\pi$ не снизишь.
Вот и вопрос - какое мин. значение и какая траектория ему соответствует.

-- Вс сен 08, 2024 17:46:18 --

realeugene в сообщении #1653807 писал(а):

Theoristos в сообщении #1653806 писал(а):

Что значить "область открыта"?

Это значит, что множество траекторий открытое, и для любой траектории в этом множестве существует бесконечно близкая траектория с ещё меньшим значением действия.

А. То есть вы хотите сказать, что можно найти траекторию со значением $S$ как можно ближе к нижней грани, но траектории с минимальным $S$ не существует?
А при этом эти "оптимизируемые" траектории сходятся к чему-то там, или принципиально нет?

[realeugene]

Theoristos в сообщении #1653809 писал(а):

Гм. То есть вы хотите сказать, что можно найти траекторию со значением $S$ как можно ближе к нижней грани, но траектории с минимальным $S$ не существует?

Да, именно так. И такой вывод я сделал из уже несуществования экстремального участка траектории, по которому за фиксированное время доберётся тело из начального состояния с нулевой скоростью до излома. Можно это попробовать доказать строго. А значит сколько ни варьируй независимо время добирания до излома, экстремальной траектории не будет.

[Theoristos]

realeugene в сообщении #1653811 писал(а):

Можно это попробовать доказать строго.

Было бы интересно.

[realeugene]

Theoristos в сообщении #1653809 писал(а):

А при этом эти "оптимизируемые" траектории сходятся к чему-то там, или принципиально нет?

Если множество траекторий - область, то граничных точек нет, и не каждая фундаментальная последовательность сходится к точке в этом множестве.

[Утундрий]

То есть, ставится задача достижения инфинума функционала действия по не экстремалям. Смысл?

[realeugene]

Theoristos в сообщении #1653812 писал(а):

Было бы интересно.

Да, достаточно взять потенциал гармонического осциллятора и доказать, что к точкам с энергией больше начальной не ведут экстремали. Наверное, интересное отдельное упражнение, посмотреть, как исчезает экстремум для таких траекторий, но и так понятно, что не ведут, раз полная энергия на экстремали сохраняется, а кинетическая энергия неотрицательна.

[Theoristos]

realeugene в сообщении #1653813 писал(а):

Если множество траекторий - область, то граничных точек нет, и не каждая фундаментальная последовательность сходится к точке в этом множестве.

Так в нашем случае - сходятся, или нет? Есть ли доказательство или пример какой.

-- Вс сен 08, 2024 18:21:43 --

Утундрий в сообщении #1653814 писал(а):

То есть, ставится задача достижения инфинума функционала действия по не экстремалям. Смысл?

А почему нет? Что в классических учебниках классической механики этому препятствует?
Как обычно формулируется задача - найти траекторию с наименьшим действием. Ну вот, ищем, перебираем.

Кстати, для численного вычисления - вроде как вполне прямой метод. Только с пеньками, вот.


(
Я конечно понимаю смысл приоритета именно экстремалей, идущий из КТП/квантмеха, хотя и там не всё гладко и причёсано.
Но уж больно это отличается от благостной картины "принципа наименьшего действия", рассказываемого в курсах классической механики, даже на вот таком простом примере.
)

[realeugene]

Theoristos в сообщении #1653821 писал(а):

Так в нашем случае - сходятся, или нет? Есть ли доказательство или пример какой.

Доказательство я привёл: у экстремальной траектории каждый участок экстремален, и известно, что энергия гармонического осциллятора на экстремали сохраняется, а значит, не существует экстремального участка траектории, по которому тело может добраться до излома, на котором у тела энергия больше начальной.

[Theoristos]

realeugene в сообщении #1653816 писал(а):

Theoristos в сообщении #1653812 писал(а):

Было бы интересно.

Да, достаточно взять потенциал гармонического осциллятора и доказать, что к точкам с энергией больше начальной не ведут экстремали. Наверное, интересное отдельное упражнение, посмотреть, как исчезает экстремум для таких траекторий, но и так понятно, что не ведут, раз полная энергия на экстремали сохраняется, а кинетическая энергия неотрицательна.

Для него кстати зависимость значения $S$ по "правильным" траекториям от конечных $(t,x)$ довольно забавная.
При $(t_0=0,x_0=0)$,

$S(t,x) = \frac{k}{2\omega}\frac{x^2}{\tg(\omega t)}$

[realeugene]

Theoristos в сообщении #1653821 писал(а):

Но уж больно это отличается от благостной картины "принципа наименьшего действия", рассказываемого в курсах классической механики, даже на вот таком простом примере.

На самом деле это принцип экстремального действия. Принципом наименьшего действия называется по традиции, и потому, что обычно в механике с ничем не ограниченной кинетической энергией экстремаль - минимум. Всегда можно увеличить действие, быстро дёрнувшись в сторону и тут же вернувшись обратно.