Сапер

[B@R5uk]

Вообще, если честно и полностью обсчитать весь рабочий участок:



То получится следующее. Размер участка и области вне его:

$$3\cdot 7+3=38$$

$$16\cdot 30-38=442$$

Внутри участка возможно 20 вариантов размещения не отмеченных мин:

• 6 случаев с 5-ю минами
  
  "Комбинационный вес" каждого этого случая
  $$N_5=C_{442}^{91}=\frac{442!}{351!\;91!}=352N'$$
• 14 случаев с 6-ю минами
  
  "Комбинационный вес" каждого этого случая
  $$N_6=C_{442}^{90}=\frac{442!}{352!\;90!}=91N'$$

Здесь

$$N'=\frac{442!}{352!\;91!}$$

Полный "комбинационный вес" всех этих случаев

$$N=6\cdot 352N'+14\cdot 91N'=3386N'$$

Шанс нарваться на мину в нижнем левом углу (под нижним флажком, а так же под нижней двойкой) будет значительно больше 1/3:

$$p_1=\frac{2N_5+8N_6}{N}=\frac{2\cdot 352+8\cdot 91}{3386}=\frac{1432}{3386}\approx 0.4229$$

Шанс нарваться на мину под нижней тройкой будет чуть по-меньше:

$$p_2=\frac{2N_5+6N_6}{N}=\frac{2\cdot 352+6\cdot 91}{3386}=\frac{1250}{3386}\approx 0.3692$$

Шанс нарваться на мину под нижней единицей минимальный из этих трёх взаимоисключающих событий:

$$p_3=\frac{2N_5}{N}=\frac{704}{3386}\approx 0.2079$$

Шанс нарваться на мину в одной из трёх ячеек самого правого столбца рабочего участка, пожалуй, самый маленький из того, что есть:

$$p_r=\frac{4N_6}{N}=\frac{364}{3386}\approx 0.1075$$

Шанс нарваться на мину над самой правой двойкой:

$$p_u=\frac{4N_5}{N}=\frac{1408}{3386}\approx 0.4158$$

Шанс нарваться на мину под самой правой двойкой:

$$p_d=\frac{N_6+N_5}{N}=\frac{443}{3386}\approx 0.1308$$

Шанс нарваться на мину слева от этой ячейки (по верхним флажком) такой же.

Шанс нарваться на мину вне рабочего участка:

$$p=\frac{6N_5}{N}\cdot\frac{91}{442}+\frac{14N_6}{N}\cdot\frac{90}{442}=\frac{6\cdot 352\cdot 91+14\cdot 91\cdot 90}{3386\cdot 442}=\frac{306\,852}{1\,496\,612}\approx 0.2050$$

Надеюсь, нигде не обсчитался и не пропустил никаких вариантов размещения мин. Таки пропустил варианты. Надеюсь теперь всё на месте.

-- 06.09.2024, 16:58 --

RobinGood, вы двигались в правильном направлении, но не учли всю имеющуюся информацию. Цепочка связей через двойку, а потом через единицу портит вам весь расчёт.

[B@R5uk]

Аааа. Всё не правильно. Пропустил ещё 8 вариантов, в том числе с 4-я минами в рабочей области. И время редактирования истекло...

[sergey zhukov]

B@R5uk
Сапер ошибается один раз. Все, game over.

[B@R5uk]

Ладно. Расчёт, дубль эндцать. Имеется 28 вариантов, из них 2 с 4-мя минами, 12 — с 5-ю и 14 — с 6-ю. Комбинационные веса этих вариантов:

$$N_4=C_{442}^{92}=\frac{442!}{350!\;92!}=352\cdot 351N'=123\;552N'$$

$$N_5=C_{442}^{91}=\frac{442!}{351!\;91!}=352\cdot 92N'=32\;384N'$$

$$N_6=C_{442}^{90}=\frac{442!}{352!\;90!}=92\cdot 91N'=8\;372N'$$

где

$$N'=\frac{442!}{352!\;92!}$$

Суммарный вес этих вариантов

$$N=2N_4+12N_5+14N_6=2\,\cdot\,123\;552N'+12\,\cdot\,32\;384N'+14\,\cdot\,8\;372N'=752\;920N'$$

Вероятность p встретить мину в клетке x рассчитывается так:

$$p(x)=\frac{aN_4+bN_5+cN_6}{N}$$

где a — число вариантов с 4-мя минами с миной в клетке x, b — аналогично для вариантов с 5-ю минами и c — с 6-ю.

Сами 28 вариантов:

• 2 варианта с 4-я минами
  
  
  
• 12 вариантов с 5-ю минами
  
  
  
• 14 вариантов с 6-ю минами (первый вариант выпал в игре)
  

Рабочая область с шахматными координатами:



Таблица весов и вероятностей для различный положений мин:

Используется синтаксис Text

Coords      a   b   c       Weights     Probabilities
            1   -   -       123 552     
            -   1   -        32 384     
            -   -   1         8 372     
Total       2   12  14      752 920     1.0000
A1, D1      -   2   8       131 744     0.1750
B1          -   2   6       115 000     0.1527
C1          2   8   -       506 176     0.6723
E1          -   4   8       196 512     0.2610
E2, E3      1   5   6       335 704     0.4459
A4, D4, E4  -   1   1        40 756     0.0541
B4          2   11  13      712 164     0.9459
F4, F5, F6  -   2   4        98 256     0.1305
E6          2   4   -       376 640     0.5002
E7          -   8   14      376 280     0.4998
Game        -   -   1         8 372     0.0111

 

Забавно, что взаимоисключающие события найти мину в клетках E6 и Е7 практически равновероятны. Минимальная вероятность нарваться на мину чуть меньше 1/18 и принадлежит клеткам A4, D4 и E4. Последние два события взаимоисключающие. Иронично, что в реальной реализации в наименее вероятной клетке A4 мина таки оказалась. Вероятность встретить мину в клетке A1 более чем в полтора раза больше 1/9. Вероятность выпавшей в игре расстановки мин (для рабочей области, а не всех мин) чуть больше 1/90.

А вообще, подобного рода переборы вариантов и расчёты весов и вероятностей — задача для машины. Я даже сейчас не уверен, что ничего не пропустил и нигде не обсчитался.

[sergey zhukov]

B@R5uk
Мины в игре могут расставляться по ходу игры, кстати. В зависимости от действий игрока.

[B@R5uk]

В Win7 так и происходит. Мины размещаются после первого клика, исключая некоторую область вокруг кликнутой ячейки. Применительно к расчёту это ничего не меняет. Во всяком случае до тех пор, пока ваше знание об алгоритме позволит уверенно откинуть какие-либо варианты размещений.

[sergey zhukov]

B@R5uk
Мины могут и дальше первого клика размещаться по ходу игры. Это, знаете, как в морской бой играть, подрисовывая корабли по ходу игры. Весьма полезная стратегия.

[B@R5uk]

sergey zhukov, не пойму, какой вывод из вашего утверждения вы хотите, чтобы я сделал?

[sergey zhukov]

B@R5uk
В этом случае нельзя подсчитать вероятности расположения мин, не зная алгоритма их расстановки.

[B@R5uk]

Не является ли отсутствие знания о том, какие варианты более или менее вероятны, эквивалентным тому, что все возможные варианты равновероятны?

[iifat]

B@R5uk в сообщении #1653643 писал(а):

Не является ли отсутствие знания ... эквивалентным тому

Вспоминается почему-тоответ блондинки на вопрос о встрече с динозавром. Ну, пусть это будет не динозавр, а тигр какой-нибудь. Ну или, к примеру, дождь: если я ничего не понимаю в прогнозировании погоды, разумно ли будет предполагать на завтра жару, дождь, смерч, самум в равных пропорциях?

[B@R5uk]

iifat в сообщении #1653656 писал(а):

жару, дождь, смерч, самум в равных пропорциях?

Это не разумно, потому что вы уже знаете из опыта о том, что некоторые природные явления, например, смерч, менее вероятны, чем другие. А некоторые ограничены временем года: жары не бывает зимой (на нашей территории, во всяком случае — опять оговорка, то есть вид знания), а дождь зимой бывает очень редко.

Аналогично с динозавром. Попробуйте такой вопрос: чему равна вероятность встретить динозавра на случайной обитаемой планете юрского периода где-то во вселенной? Ответ "50 на 50" не будет такой уж натяжкой. На мой взгляд, во всяком случае.

[sergey zhukov]

B@R5uk
Я бы сказал, что самый честный ответ такой: "Если предположить, что ..., то решение будет таким-то."
Впрочем, я тоже уверен, что мины в сапере распределяются с равномерной плотностью. Совершенно естественное предположение.

Как-то про априорную вероятность долгий и путаный спор был в этой теме про дождь как раз.

[realeugene]

B@R5uk в сообщении #1653643 писал(а):

Не является ли отсутствие знания о том, какие варианты более или менее вероятны, эквивалентным тому, что все возможные варианты равновероятны?

Вероятностное пространство - это ещё математика, ей всё равно, какие вы вероятности припишите событиям, а вероятностная модель с выбранными априорными вероятностями - уже физика. Вы можете выбирать различные физические модели исходя из своего априорного знания, и получать различные предсказания. Чем больше вы знаете априорно - тем точнее будут ваши предсказания. В любом случае, вы должны обладать некоторым априорным пониманием, что такое "динозавр".

[RobinGood]

B@R5uk в сообщении #1653627 писал(а):

Иронично, что в реальной реализации в наименее вероятной клетке A4 мина таки оказалась. Вероятность встретить мину в клетке A1 более чем в полтора раза больше 1/9. Вероятность выпавшей в игре расстановки мин (для рабочей области, а не всех мин) чуть больше 1/90.

У меня в результате упрощенных рассчетов вышло $\frac{8}{47}$, что на пять тысячных меньше чем у вас, но все равно близко. Если бы так не неповезло, то и темы бы не было Чем больше область, тем меньше изменение вероятностей

B@R5uk в сообщении #1653643 писал(а):

Не является ли отсутствие знания о том, какие варианты более или менее вероятны, эквивалентным тому, что все возможные варианты равновероятны?

Увы, такое только для единичных клеток подходит, без рассмотрения корреляций

-- 07.09.2024, 21:31 --

B@R5uk в сообщении #1653660 писал(а):

Аналогично с динозавром. Попробуйте такой вопрос: чему равна вероятность встретить динозавра на случайной обитаемой планете юрского периода где-то во вселенной?

А почему юрского? Просто планеты