2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Сапер
Сообщение06.09.2024, 16:52 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Вообще, если честно и полностью обсчитать весь рабочий участок:

Изображение

То получится следующее. Размер участка и области вне его: $$3\cdot 7+3=38$$ $$16\cdot 30-38=442$$ Внутри участка возможно 20 вариантов размещения не отмеченных мин:

  • 6 случаев с 5-ю минами
    Изображение
    "Комбинационный вес" каждого этого случая $$N_5=C_{442}^{91}=\frac{442!}{351!\;91!}=352N'$$
  • 14 случаев с 6-ю минами
    Изображение
    "Комбинационный вес" каждого этого случая $$N_6=C_{442}^{90}=\frac{442!}{352!\;90!}=91N'$$
Здесь $$N'=\frac{442!}{352!\;91!}$$ Полный "комбинационный вес" всех этих случаев $$N=6\cdot 352N'+14\cdot 91N'=3386N'$$

Шанс нарваться на мину в нижнем левом углу (под нижним флажком, а так же под нижней двойкой) будет значительно больше 1/3: $$p_1=\frac{2N_5+8N_6}{N}=\frac{2\cdot 352+8\cdot 91}{3386}=\frac{1432}{3386}\approx 0.4229$$ Шанс нарваться на мину под нижней тройкой будет чуть по-меньше: $$p_2=\frac{2N_5+6N_6}{N}=\frac{2\cdot 352+6\cdot 91}{3386}=\frac{1250}{3386}\approx 0.3692$$ Шанс нарваться на мину под нижней единицей минимальный из этих трёх взаимоисключающих событий: $$p_3=\frac{2N_5}{N}=\frac{704}{3386}\approx 0.2079$$

Шанс нарваться на мину в одной из трёх ячеек самого правого столбца рабочего участка, пожалуй, самый маленький из того, что есть: $$p_r=\frac{4N_6}{N}=\frac{364}{3386}\approx 0.1075$$ Шанс нарваться на мину над самой правой двойкой: $$p_u=\frac{4N_5}{N}=\frac{1408}{3386}\approx 0.4158$$ Шанс нарваться на мину под самой правой двойкой: $$p_d=\frac{N_6+N_5}{N}=\frac{443}{3386}\approx 0.1308$$ Шанс нарваться на мину слева от этой ячейки (по верхним флажком) такой же.

Шанс нарваться на мину вне рабочего участка: $$p=\frac{6N_5}{N}\cdot\frac{91}{442}+\frac{14N_6}{N}\cdot\frac{90}{442}=\frac{6\cdot 352\cdot 91+14\cdot 91\cdot 90}{3386\cdot 442}=\frac{306\,852}{1\,496\,612}\approx 0.2050$$Надеюсь, нигде не обсчитался и не пропустил никаких вариантов размещения мин. Таки пропустил варианты. Надеюсь теперь всё на месте.

-- 06.09.2024, 16:58 --

RobinGood, вы двигались в правильном направлении, но не учли всю имеющуюся информацию. Цепочка связей через двойку, а потом через единицу портит вам весь расчёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сапер
Сообщение06.09.2024, 18:03 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Аааа. Всё не правильно. Пропустил ещё 8 вариантов, в том числе с 4-я минами в рабочей области. И время редактирования истекло...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сапер
Сообщение06.09.2024, 18:10 


17/10/16
4759
B@R5uk
Сапер ошибается один раз. Все, game over.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сапер
Сообщение07.09.2024, 11:30 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Ладно. Расчёт, дубль эндцать. Имеется 28 вариантов, из них 2 с 4-мя минами, 12 — с 5-ю и 14 — с 6-ю. Комбинационные веса этих вариантов: $$N_4=C_{442}^{92}=\frac{442!}{350!\;92!}=352\cdot 351N'=123\;552N'$$ $$N_5=C_{442}^{91}=\frac{442!}{351!\;91!}=352\cdot 92N'=32\;384N'$$ $$N_6=C_{442}^{90}=\frac{442!}{352!\;90!}=92\cdot 91N'=8\;372N'$$ где $$N'=\frac{442!}{352!\;92!}$$ Суммарный вес этих вариантов $$N=2N_4+12N_5+14N_6=2\,\cdot\,123\;552N'+12\,\cdot\,32\;384N'+14\,\cdot\,8\;372N'=752\;920N'$$ Вероятность p встретить мину в клетке x рассчитывается так: $$p(x)=\frac{aN_4+bN_5+cN_6}{N}$$ где a — число вариантов с 4-мя минами с миной в клетке x, b — аналогично для вариантов с 5-ю минами и c — с 6-ю.

Сами 28 вариантов:

  • 2 варианта с 4-я минами
    Изображение

  • 12 вариантов с 5-ю минами
    Изображение

  • 14 вариантов с 6-ю минами (первый вариант выпал в игре)
    Изображение

Рабочая область с шахматными координатами:

Изображение

Таблица весов и вероятностей для различный положений мин:

код: [ скачать ] [ спрятать ]
Используется синтаксис Text

Coords      a   b   c       Weights     Probabilities
            1   -   -       123 552    
            -   1   -        32 384    
            -   -   1         8 372    
Total       2   12  14      752 920     1.0000
A1, D1      -   2   8       131 744     0.1750
B1          -   2   6       115 000     0.1527
C1          2   8   -       506 176     0.6723
E1          -   4   8       196 512     0.2610
E2, E3      1   5   6       335 704     0.4459
A4, D4, E4  -   1   1        40 756     0.0541
B4          2   11  13      712 164     0.9459
F4, F5, F6  -   2   4        98 256     0.1305
E6          2   4   -       376 640     0.5002
E7          -   8   14      376 280     0.4998
Game        -   -   1         8 372     0.0111

 

Забавно, что взаимоисключающие события найти мину в клетках E6 и Е7 практически равновероятны. Минимальная вероятность нарваться на мину чуть меньше 1/18 и принадлежит клеткам A4, D4 и E4. Последние два события взаимоисключающие. Иронично, что в реальной реализации в наименее вероятной клетке A4 мина таки оказалась. Вероятность встретить мину в клетке A1 более чем в полтора раза больше 1/9. Вероятность выпавшей в игре расстановки мин (для рабочей области, а не всех мин) чуть больше 1/90.

А вообще, подобного рода переборы вариантов и расчёты весов и вероятностей — задача для машины. Я даже сейчас не уверен, что ничего не пропустил и нигде не обсчитался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сапер
Сообщение07.09.2024, 11:36 


17/10/16
4759
B@R5uk
Мины в игре могут расставляться по ходу игры, кстати. В зависимости от действий игрока.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сапер
Сообщение07.09.2024, 11:46 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
В Win7 так и происходит. Мины размещаются после первого клика, исключая некоторую область вокруг кликнутой ячейки. Применительно к расчёту это ничего не меняет. Во всяком случае до тех пор, пока ваше знание об алгоритме позволит уверенно откинуть какие-либо варианты размещений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сапер
Сообщение07.09.2024, 11:59 


17/10/16
4759
B@R5uk
Мины могут и дальше первого клика размещаться по ходу игры. Это, знаете, как в морской бой играть, подрисовывая корабли по ходу игры. Весьма полезная стратегия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сапер
Сообщение07.09.2024, 12:06 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
sergey zhukov, не пойму, какой вывод из вашего утверждения вы хотите, чтобы я сделал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сапер
Сообщение07.09.2024, 12:11 


17/10/16
4759
B@R5uk
В этом случае нельзя подсчитать вероятности расположения мин, не зная алгоритма их расстановки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сапер
Сообщение07.09.2024, 13:39 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Не является ли отсутствие знания о том, какие варианты более или менее вероятны, эквивалентным тому, что все возможные варианты равновероятны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сапер
Сообщение07.09.2024, 15:56 
Заслуженный участник


16/02/13
4179
Владивосток
B@R5uk в сообщении #1653643 писал(а):
Не является ли отсутствие знания ... эквивалентным тому
Вспоминается почему-тоответ блондинки на вопрос о встрече с динозавром. Ну, пусть это будет не динозавр, а тигр какой-нибудь. Ну или, к примеру, дождь: если я ничего не понимаю в прогнозировании погоды, разумно ли будет предполагать на завтра жару, дождь, смерч, самум в равных пропорциях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сапер
Сообщение07.09.2024, 16:24 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
iifat в сообщении #1653656 писал(а):
жару, дождь, смерч, самум в равных пропорциях?
Это не разумно, потому что вы уже знаете из опыта о том, что некоторые природные явления, например, смерч, менее вероятны, чем другие. А некоторые ограничены временем года: жары не бывает зимой (на нашей территории, во всяком случае — опять оговорка, то есть вид знания), а дождь зимой бывает очень редко.

Аналогично с динозавром. Попробуйте такой вопрос: чему равна вероятность встретить динозавра на случайной обитаемой планете юрского периода где-то во вселенной? Ответ "50 на 50" не будет такой уж натяжкой. На мой взгляд, во всяком случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сапер
Сообщение07.09.2024, 18:12 


17/10/16
4759
B@R5uk
Я бы сказал, что самый честный ответ такой: "Если предположить, что ..., то решение будет таким-то."
Впрочем, я тоже уверен, что мины в сапере распределяются с равномерной плотностью. Совершенно естественное предположение.

Как-то про априорную вероятность долгий и путаный спор был в этой теме про дождь как раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сапер
Сообщение07.09.2024, 20:30 


27/08/16
10151
B@R5uk в сообщении #1653643 писал(а):
Не является ли отсутствие знания о том, какие варианты более или менее вероятны, эквивалентным тому, что все возможные варианты равновероятны?
Вероятностное пространство - это ещё математика, ей всё равно, какие вы вероятности припишите событиям, а вероятностная модель с выбранными априорными вероятностями - уже физика. Вы можете выбирать различные физические модели исходя из своего априорного знания, и получать различные предсказания. Чем больше вы знаете априорно - тем точнее будут ваши предсказания. В любом случае, вы должны обладать некоторым априорным пониманием, что такое "динозавр".

 Профиль  
                  
 
 Re: Сапер
Сообщение07.09.2024, 21:27 


04/09/24

14
B@R5uk в сообщении #1653627 писал(а):
Иронично, что в реальной реализации в наименее вероятной клетке A4 мина таки оказалась. Вероятность встретить мину в клетке A1 более чем в полтора раза больше 1/9. Вероятность выпавшей в игре расстановки мин (для рабочей области, а не всех мин) чуть больше 1/90.

У меня в результате упрощенных рассчетов вышло $\frac{8}{47}$, что на пять тысячных меньше чем у вас, но все равно близко. Если бы так не неповезло, то и темы бы не было :wink: Чем больше область, тем меньше изменение вероятностей
B@R5uk в сообщении #1653643 писал(а):
Не является ли отсутствие знания о том, какие варианты более или менее вероятны, эквивалентным тому, что все возможные варианты равновероятны?

Увы, такое только для единичных клеток подходит, без рассмотрения корреляций

-- 07.09.2024, 21:31 --

B@R5uk в сообщении #1653660 писал(а):
Аналогично с динозавром. Попробуйте такой вопрос: чему равна вероятность встретить динозавра на случайной обитаемой планете юрского периода где-то во вселенной?

А почему юрского? Просто планеты

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group