С какой целью раньше считали далёкие знаки числа пи?

[sergey zhukov]

Интересно, а число $\pi$ какое-то особенное среди иррациональных чисел? Т.е. его вычислять проще или сложнее, чем другие иррациональные числа? Есть ли самые трудновычислимые иррациональные числа?

[mihaild]

sergey zhukov в сообщении #1653553 писал(а):

Т.е. его вычислять проще или сложнее, чем другие иррациональные числа?

Смотря в чем это измерять.
Есть понятие меры иррациональности - насколько хорошо данное число приближается рациональными с небольшим знаменателем. Естественно ожидать, что число можно приблизить дробью со знаменателем не больше $q$ с точностью не хуже $O\left(\frac{1}{q^2}\right)$, и почти все числа, в том числе $\pi$, действительно такие. Можно ли $\pi$ приближать точнее - неизвестно.

sergey zhukov в сообщении #1653553 писал(а):

Есть ли самые трудновычислимые иррациональные числа?

Ну есть число, для которого нельзя написать арифметическую формулу с одной свободной переменной, такую что она истинна ровно на позициях единиц в двоичной записи данного числа. Например число, в двоичной записи которого единицы стоят ровно на номерах арифметических утверждений, истинных в стандартной модели. Это "трудновычислимое"?

[dgwuqtj]

sergey zhukov в сообщении #1653553 писал(а):

Т.е. его вычислять проще или сложнее, чем другие иррациональные числа?

Можно на это смотреть с точки зрения теории сложности вычислений. Число $\pi$ вычисляется с точностью $10^{-n}$ за полиномиальное время от $n$, даже что-то в духе $O(n \log^k n)$. Бывают числа, для которых вообще $O(n)$ (скажем, $0{,}1010010001\ldots$ в десятичной системе счисления), и бывает, что известные алгоритмы хуже (как для постоянной Эйлера—Маскерони $\gamma$). Хотя для $e$ и алгебраических чисел асимптотика будет примерно такой же. Ну и уже сказали, что бывают вообще невычислимые и даже арифметически неопределимые числа.

[sergey zhukov]

Я просто подумал, что для вычислений выбрали $\pi$ потому, что его можно как-то особенно эффективно вычислять.

[Dmitriy40]

miflin в сообщении #1653544 писал(а):

Если не секрет, сколько времени длился поиск, например, вот этого:

Наверное я плохо выразился, но я знаки числа пи не вычислял. Я узнал что кто-то там их вычислил (была новость много где, даже в СМИ) и выложил в открытый доступ, нашёл где, нашёл как скачать (тыкать сутками по сотням/тысячам файлам это убиться), написал программку (на самом деле 4 очень разных по сложности и скорости обработки) для распаковки и проверки наличия цепочек - и запустил процесс скачивания и проверки, а потом выложил результаты в OEIS. Это было два или три раза, сначала кажется 30трлн знаков, потом 65трлн, потом 100трлн, последний раз у меня это заняло если не ошибаюсь 3 месяца. Оно конечно практически само работало, просто следил, однако комп был занят вот столько.

Если же вопрос сколько времени считали эти 100трлн знаков, то очень по разному. Раньше считали прям реально на суперкомпьютерах (например как рекламную акцию нового суперкомпьютера в период наладки и запуска, кажется гугл именно так сделал) неделями (месяцами как то не слишком верю), потом стало выгоднее и проще найти кластер из сотен компов и посчитать за то же время. Кто-то считал на специально созданном сервере (там очень напрягается диск, потому что памяти столько не бывает и идёт постоянная работа с диском, данных надо хранить в разы больше конечного результата, т.е. за сотню терабайтов, плюс такие вещи не делают без рейда (т.е. зеркалирования и других технологий повышения надёжности), слишком велика цена сбоя). Последний раз 100трлн чисел считали кажется около года на кластере из сотни компов, но могу ошибаться (спутать с другим случаем), в принципе все моменты работы описаны (на инглише), будет важно найду ссылку (она отличается от того откуда качал, там только данные). Там достаточно подробно описано из чего состоит (сколько компов, какие процы, сколько памяти, сколько каких дисков, какая сеть), какую прогу использовали (она собственно одна, с мелкими модификациями под конкретные условия), как добивались надёжности, как проверяли результат (это существенная часть времени), такое познавательное чтиво, тем кто интересуется расчётами такого класса (не только знаков чисел, а вообще столь долгими и надёжными).
Отдельно забавно что, если опять же не ошибается моя память, то и 65трлн и 100трлн были посчитаны на аппаратуре схожего объёма практически за схожее время (чуть более года). Прогресс в процессорах, дисках, объёмах памяти (RAM).
О, вот нашёл данные по предпредыдущему счёту, 50трлн цифр (его результаты не выкладывали потому я и пропустил). Заняло с апреля 2019 по январь 2020, 10 месяцев. 60 ядерный проц (120 потоков) на 2.5ГГц. 320ГБ памяти. На диске всё занимало до 240ТБ (хотя 50трлн цифр можно хранить в 21ТБ), всего на диск записано 19ПБ, считано 21ПБ. Если правильно понимаю проц был занят на 47% (занят на 100%, но эффективность была лишь 47%, остальное накладные расходы, но похоже это в расчёте на 120 потоков, на 60 ядер всё намного лучше, 94% прекрасный результат). Выходит можно и на не то чтобы персоналке, но на маленьком сервере (или как это называли рабочей станции) считать за в общем разумное время.
Про 100трлн я похоже тоже погорячился, тоже скорее рабочая станция чем кластер, вот ссылка: https://pi.delivery/#howcalculating-pi
А вот более техническое описание: https://cloud.google.com/blog/products/ ... ogle-cloud
В общем верить им (и ссылке ниже у меня), не мне, я мог напутать и нести отсебятину (и походу нёс ).

-- 06.09.2024, 21:23 --

sergey zhukov в сообщении #1653553 писал(а):

Интересно, а число $\pi$ какое-то особенное среди иррациональных чисел?

С математической точки зрения выше уже сказали, добавлю с практической. Да, для пи известны не просто вычисления через ряд, но и достаточно эффективные ряды, дающие лучшую сходимость. Выделено ли этим пи среди других? Скорее нет, аналогичных "удобных" чисел много, но среди них мало интересных. Но скажем число е считается практически так же легко (опять же если правильно помню). Ну и числом пи много занимались и поэтому тоже придумали лучшие ряды/алгоритмы. И оно просто намного более известно, потому всё что с ним связано чаще попадает в СМИ.

-- 06.09.2024, 21:26 --

sergey zhukov в сообщении #1653575 писал(а):

Я просто подумал, что для вычислений выбрали $\pi$ потому, что его можно как-то особенно эффективно вычислять.

И поэтому тоже. Но вычисляют не только его, и е, и корни из двух, трёх, золотое сечение, ещё какие-то.

-- 06.09.2024, 21:32 --

sergey zhukov
Смотрите какие числа вычисляют (на сайте основной программы для их вычисления): http://www.numberworld.org/y-cruncher/#Records

-- 06.09.2024, 21:33 --

О! Оказывается в мае вычислили уже 202трлн знаков пи! Не знал. Интересно выложили ли и не пора ли откапывать те мои программки ...

[A_I]

Dmitriy40
Да, интересно..
Я уже отстал сильно в своих представлениях по теме, но в оправдание - прямо с предметом не связан, а только лишь для общего развития кругозора.
Но по теме есть вопрос, который возник ещё тогда, много лет назад, когда впервые прочитал о свойствах последовательностей в такого рода числах на тот момент ещё предполагаемых. По приведенным ссылкам бегло пробежался, вроде нет ответа, как впрочем и на любые другие, требующие анализа - то есть, это у них просто типа необработанной биг даты.
Собсно вопрос - любые последовательности повторяются с частотой прямо пропорциональной только их длине?

[Dmitriy40]

Я дал ссылки что и как считают. Обрабатывают и выкладывают результаты другие и в других местах, в той же OEIS только я только про число пи обновлял три десятка последовательностей. А много инфы и туда не попало, скажем о частотности отдельных цифр (не помню где её можно найти, я её не считал).

A_I в сообщении #1653584 писал(а):

Собсно вопрос - любые последовательности повторяются с частотой прямо пропорциональной только их длине?

На это я ответить к сожалению не могу - не проверял. Это надо отдельную программу писать для подсчёта всех частот (отдельная нетривиальная задача), плюс снова скачивать все 42ТБ (локально оставил лишь первые 100млрд цифр, 40ГБ).
Быстро могу ответить лишь про последовательности длины до 3 и лишь по первому миллиарду знаков числа: да, повторяются именно так, все 10 или 100 или 1000 вариантов практически равночастотны (минимум 996242шт для 336, максимум 1002949шт для 086, из миллиарда), коэффициент сжатия стабилен около 3.322 бита на знак ($\log_2 10$) независимо от длины цепочки, что явно говорит о равночастотности последовательностей одинаковой длины. Про более длинные ничего быстро сказать не могу.
В принципе если очень надо могу написать прогу и проверить цепочки длиной до 9 на первых 100млрд знаков, но уверен что и там будет выполняться (с некоторой погрешностью разумеется, ведь самых длинных будет всего около сотни каждой, не забываем про статистические флуктуации).
Кстати думаю его кто-то уже проверял (может на несколько меньшем объёме, первые триллионы знаков).

[A_I]

Dmitriy40 в сообщении #1653587 писал(а):

но уверен что и там будет выполняться

Тогда действительно не понятно это упорство по вычислению этих сотен триллионов знаков. Хотя, если нет ничего более интересного для приложения вычислительных ресурсов, то почему бы и нет…

[Dmitriy40]

A_I
"Лично Я уверен что будет выполняться" вовсе не равно "действительно выполняется". Я вообще не математик и близко. И уверен лишь из практики, что вижу. А вдруг стат.значимо не выполняется?! Тогда это проблема теории чисел и её будут как-то решать.

А зачем сейчас считают - как бы написано выше в теме. Начиная от чисто спортивного интереса, до того что не так уж и жалко потратить 3 месяца на мировой рекорд (вспомним книгу рекордов Гиннесса). Или протестировать этим качество аппаратуры (вместо пустого стресс-теста). Или рекламная акция (себя, сервера, SSD, суперкомпьютера, алгоритма, ...), это уж наверняка вменяемее большинства фоток в инстаграме. Вообще каждый сам решает куда ему потратить имеющиеся ресурсы, любые, от компа и денег до жизни. Часто выбор странен и непонятен другим, бывает, это нормально.

-- 07.09.2024, 11:52 --

Я вот например тоже не смогу внятно ответить за каким чёртом я полтора года ищу цепочку из простых чисел ... Мне просто было интересно написать программу которая это может. И я кое-что узнал в программировании (а это моё и хобби и работа) для себя в процессе. Для работы не нужное, зато для хобби вполне. А продолжаю искать потому что могу потратить на это ресурсы (время, электричество). А кому-то это совершенно не аргументы.

[sergey zhukov]

Dmitriy40 в сообщении #1653630 писал(а):

Я вот например тоже не смогу внятно ответить за каким чёртом я полтора года ищу цепочку из простых чисел

А кстати, наверное, большое значение имеет то, что всеми этими результатами можно с кем-то поделиться? Скажем, на необитаемом острове это было бы не так интересно?

Мне один друг как-то сказал, что это (возможность быть оцененным кем-то) главная мотивация заниматься даже такими вещами, как вычисление знаков $\pi$. Немалая в этом доля правды, как я теперь думаю.

[miflin]

Dmitriy40 в сообщении #1653577 писал(а):

будет важно найду ссылку

Не утруждайтесь, пожалуйста. Того, что Вы сообщили, для меня вполне достаточно. Большое спасибо.

Когда-то баловался поиском в $\pi$ от нечего делать.
В 90-е как-то скачал $\pi$ в виде текстового файла размером 32Мбайт.
6-байтовые последовательности находились "на ура", практически со 100% успехом,
8-байтовые - где-то 30%,
10-байтовые не нашел ни разу. Там шансы были 0,3%

[Dmitriy40]

sergey zhukov в сообщении #1653633 писал(а):

А кстати, наверное, большое значение имеет то, что всеми этими результатами можно с кем-то поделиться? Скажем, на необитаемом острове это было бы не так интересно?

Да, важно. Насколько именно спорить не буду, для каждого по своему. Мне - не сильно, я частенько помогаю людям (тут на форуме) что-то посчитать, почти всегда не требуя ссылки на себя. Но без других людей просто не возникнет столь много разных задач. И если знаки пи были интересны ещё в школе, то 95% остального просто не придёт в голову. Для меня более мотивирующим является возможность поизвращаться (простите по другому не назовёшь, на любимом мною ассемблере пишут почти только мазохисты) в программировании, хобби такое. Ну и просто помочь людям когда уже умеешь приятно (да, просто "за спасибо", а то и без).

miflin в сообщении #1653635 писал(а):

Не утруждайтесь, пожалуйста. Того, что Вы сообщили, для меня вполне достаточно. Большое спасибо.

В том же сообщении последняя ссылка ведёт на табличку, в которой слева есть колонка Source, по ссылкам в которой как раз и есть подробное описание аппаратуры и организации вычислений. А в правых колонках что за аппаратура и сколько времени заняло. Сам глянул - оказывается я напорол много отсебятины, почти всё перепутал, хотя основные принципы и верные. Лучше сами поглядите, не в моём кривом пересказе.

-- 07.09.2024, 13:00 --

Кстати под этой табличкой есть ссылка на более подробную, там ещё и несколько других констант считают.
Интересно сравнивать как развивалось со временем (бывало что больше знаков считали быстрее чем пару лет до того). А некоторые константы вообще за считанные часы, уж столько точно не жаль потратить даже просто так.

[Евгений Машеров]

Ответ зависит от того, насколько "раньше".
В самом начале была (одна из трёх знаменитых задач, наряду с трисекцией угла и удвоением куба) задача о квадратуре круга. И вычисляли в надежде приблизиться к её решению. С доказательством трансцедентности числа Пи (1882 год) смысл в таком расчёте утратился, но задолго до этого появилось новое основание для расчётов - развился матанализ, число Пи стали выражать бесконечными рядами или произведениями, и считали, демонстрируя мощь такого представления. Точность приближения числа Пи, достигнутая уже в средневековье, покрывала всякую потребность, так что расчёты носили скорее спортивный характер, а научную ценность имели разрабатываемые для такого расчёта ряды или методы вычисления. С появлением ЭВМ это стало демонстрацией их производительности, тестом работоспособности и упражнением для студентов или аспирантов по программированию. Опять же - дополнительные знаки числи Пи ни для чего полезны не были, только для эффектного сообщения о рекорде, но разработка методов вычисления (а в последнее время также методов распараллеливания вычислений) представляла практическую ценность. Высказывались надежды на использование знаков числа Пи в криптографии, но, скорее всего, они необоснованы, хотя так можно обосновать отвлечение сил и средств на постановку нового рекорда.

[Евгений Машеров]

Mihr в сообщении #1652467 писал(а):

У меня три четыре вопроса:
1. Что такое "окружность Вселенной"?
2. Что такое "вычисление окружности"?
3. Что значит "вычислить с точностью до атома"?
4. (Дополнительный). Не лучше ли сразу выражаться просто и ясно, чтобы не возникало вопросов типа 1-3?

Ну, это не очень аккуратный пересказ утверждения: если принять радиус наблюдаемой Вселенной 46 миллиардов световых лет, примерно $4\cdot10^{26}$ метров, а размер атома водорода (боровский радиус) считать $5.29\cdot10^{-11}$ метра, то для вычисления длины окружности с радиусом, равным "радиусу Вселенной" и погрешностью "в атом водорода" хватит 37-38 знаков. Точности 35 знаков достиг уже Лудольф ван Цейлен в 1596 году, а 38 знаков получил Гринбергер в 1630. Далее уже шли вычисления с точностью, превышающей данную задачу. Но у них был смысл - в отличие от предыдущих, основанных на увеличении числа сторон многоугольника, они использовали ряды, показывая мощь матанализа. Эйлер, используя ряд для арктангенса, получил 20 знаков за час (Лудольф ван Цейлен 20 знаков считал около 30 лет).