2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Размер конечной группы через орбиту и стабилизатор
Сообщение04.09.2024, 22:23 


03/01/24
8
Доброго времени суток!
Встретил такой факт. На примерах вроде бы верный.
Пусть конечная группа $G$ действует на множество $X$. Тогда $\forall x \in G$ выполнено $ \left\lvert G \right\rvert = \left\lvert Orb(x) \right\rvert \cdot \left\lvert Stab(x) \right\rvert$

Знаю, что орбиты делят множество $X$ на классы эквивалентности.
Еще по Th Лагранжа действительно $ \left\lvert G \right\rvert = n \cdot \left\lvert Stab(x) \right\rvert$
Интересным мне кажется то, что мы умножаем размер подмножества из $X$ на размер множества из $G$. И как-то вытекает размер множества $G$

Есть мысль по типу пусть $x_1, ... x_n$ -орбита для x и $x = g_i(x_i)$ и тд.
Тогда беря композиции $g_i$ с элементами из множества стабилизаторов получаем что-то вроде требуемого.
Но возникает вопрос: какие-то элементы могли склеиться, какие-то мы могли не получить.
Является ли данный факт верным? Можете подсказать наводку или лемму или контр-пример?

 Профиль  
                  
 
 Re: Размер конечной группы через орбиту и стабилизатор
Сообщение04.09.2024, 22:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9151
Цюрих
Постройте биекцию между смежными классами и элементами орбиты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размер конечной группы через орбиту и стабилизатор
Сообщение04.09.2024, 23:05 


03/01/24
8
Решил. Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group