2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Размер конечной группы через орбиту и стабилизатор
Сообщение04.09.2024, 22:23 


03/01/24
7
Доброго времени суток!
Встретил такой факт. На примерах вроде бы верный.
Пусть конечная группа $G$ действует на множество $X$. Тогда $\forall x \in G$ выполнено $ \left\lvert G \right\rvert = \left\lvert Orb(x) \right\rvert \cdot \left\lvert Stab(x) \right\rvert$

Знаю, что орбиты делят множество $X$ на классы эквивалентности.
Еще по Th Лагранжа действительно $ \left\lvert G \right\rvert = n \cdot \left\lvert Stab(x) \right\rvert$
Интересным мне кажется то, что мы умножаем размер подмножества из $X$ на размер множества из $G$. И как-то вытекает размер множества $G$

Есть мысль по типу пусть $x_1, ... x_n$ -орбита для x и $x = g_i(x_i)$ и тд.
Тогда беря композиции $g_i$ с элементами из множества стабилизаторов получаем что-то вроде требуемого.
Но возникает вопрос: какие-то элементы могли склеиться, какие-то мы могли не получить.
Является ли данный факт верным? Можете подсказать наводку или лемму или контр-пример?

 Профиль  
                  
 
 Re: Размер конечной группы через орбиту и стабилизатор
Сообщение04.09.2024, 22:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Постройте биекцию между смежными классами и элементами орбиты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размер конечной группы через орбиту и стабилизатор
Сообщение04.09.2024, 23:05 


03/01/24
7
Решил. Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group