Плотность распределения случайной величины

[_Yaroslav_]

Случай № 1: $t<0\rightarrow f_{XY}(z)=0$

Случай № 2: $t>\frac{z}{2}>5\rightarrow f_{XY}(z)=0$

Случай № 3: $\frac{z}{2}<t<5\rightarrow f_{XY}(z)=\frac{1}{4}\int_{\frac{z}{2}}^{5}\frac{1}{|t|}dt=\frac{1}{4}\ln(t)|_{\frac{z}{2}}^{5}=\frac{1}{4}\ln(\frac{10}{z})$

"Интеграл в конце первой строки дурной вышел, он расходится." - Combat Zone, я в нем пределы не расставлял, только функции подставил.

[Combat Zone]

Итого, ответ? (я пока не обсуждаю правильность)

_Yaroslav_ в сообщении #1651847 писал(а):

"Интеграл в конце первой строки дурной вышел, он расходится." - Combat Zone, я в нем пределы не расставлял, только функции подставил.

Так не надо делать.

[_Yaroslav_]

Я сейчас подумал. Мы рассматриваем случаи пересечения "множеств" $0<\frac{z}{t}<2, 3<t<5\rightarrow\frac{z}{2}<t, 3<t<5$. Соответственно при $\frac{z}{2}<3$ у нас пустое множество -> плотность 0, а при $\frac{z}{2}>5$ у нас "множество" $3<t<5$ лежит внутри "множества" $\frac{z}{2}<3$, то есть является его "подмножеством", а значит плотность не ноль, а:$f_{XY}(z)=\frac{1}{4}\int_{3}^{5}\frac{1}{|t|}dt=\frac{1}{4}\ln(t)|_{3}^{5}=\frac{1}{4}\ln(\frac{5}{3})$.

Итого ответ: $f_{XY}(z)=0$ при $z<6$;
$f_{XY}(z)=\frac{1}{4}\ln(\frac{10}{z})$ при $6<z<10$;
$f_{XY}(z)=\frac{1}{4}\ln(\frac{5}{3})$ при $z>10$.

[Combat Zone]

_Yaroslav_ в сообщении #1651849 писал(а):

Итого ответ: $f_{XY}(z)=0$ при $z<6$;
$f_{XY}(z)=\frac{1}{4}\ln(\frac{10}{z})$ при $6<z<10$;
$f_{XY}(z)=\frac{1}{4}\ln(\frac{5}{3})$ при $z>10$.

А это уже не плотность. Свойства плотности проверьте.

Аккуратнее надо с промежутками интегрирования. Давайте в другой раз продолжим, поздно уже.

[_Yaroslav_]

Свойство плотности Вы имели в виду: $\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(z)dz=1$? Да, из-за бесконечности в 3 случае единицы не получается. Пределы я вывел из условий ограничения. Что тогда неверно? Могу добавить только, что $z>0$.

[Combat Zone]

Проще сказать, что верно. Попробуйте решать через функцию распределения. Возможно, на вид вам способ кажется страшным. Но это потому что вы его готовить не умеете )
А может, умеете. Тогда пора, он проще.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

_Yaroslav_ в сообщении #1651849 писал(а):

Итого ответ: $f_{XY}(z)=0$ при $z<6$;
$f_{XY}(z)=\frac{1}{4}\ln(\frac{10}{z})$ при $6<z<10$;
$f_{XY}(z)=\frac{1}{4}\ln(\frac{5}{3})$ при $z>10$.

Тут что-то с интервалами напутано. Я бы так написал:

_Yaroslav_ в сообщении #1651849 писал(а):

Итого ответ: $f_{XY}(z)=0$ при $z<0$ и при $z>10$ ;
$f_{XY}(z)=\frac{1}{4}\ln(\frac{10}{z})$ при $6<z\le 10$;
$f_{XY}(z)=\frac{1}{4}\ln(\frac{5}{3})$ при $0\le z\le 6$.