Решение задачи AlexValk post472446.html
Прямой способ найти плотность случайной величины

по совместной плотности

(неважно, зависимых или независимых величин

) – использовать

-функцию Дирака:

В Вашем случае имеем
![$\begin{multline*}f_{XY}(z)=\int_1^\infty \int_0^1\delta(z-xy) \frac{4x}{y^3} \textrm{d}x \textrm{d}y \stackrel{t=xy}{=} \int_1^\infty \int_0^y\delta(z-t) \frac{4t}{y^5} \textrm{d}t \textrm{d}y= 4z \theta(z)\int_1^\infty \theta(y-z) y^{-5} \textrm{d}y=\\= 4z \theta(z)\int_{\max(z,1)}^\infty y^{-5} \textrm{d}y = \theta(z)\frac{z}{\max^4(z,1)}\equiv\begin{cases}0, & z<0,\\ z, & z\in [0;\,1],\\ 1/z^3 & z>1. \end{cases}\end{multline*}$ $\begin{multline*}f_{XY}(z)=\int_1^\infty \int_0^1\delta(z-xy) \frac{4x}{y^3} \textrm{d}x \textrm{d}y \stackrel{t=xy}{=} \int_1^\infty \int_0^y\delta(z-t) \frac{4t}{y^5} \textrm{d}t \textrm{d}y= 4z \theta(z)\int_1^\infty \theta(y-z) y^{-5} \textrm{d}y=\\= 4z \theta(z)\int_{\max(z,1)}^\infty y^{-5} \textrm{d}y = \theta(z)\frac{z}{\max^4(z,1)}\equiv\begin{cases}0, & z<0,\\ z, & z\in [0;\,1],\\ 1/z^3 & z>1. \end{cases}\end{multline*}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/1/4c11f9831a02438ed4c1f4187697a0c582.png)
Здесь

- функция Хевисайда. Она, также как и символ

, использовалась лишь для того, чтобы "укомпактить" разбор разных случаев.
-- 26.08.2024, 23:07 --"Результат неправдоподобен." -
Combat Zone,Так я и хочу понять, где у меня ошибка в решении.
-- 26.08.2024, 23:11 --Была еще идея решать через свертку, но для ее применения случайные величины должны быть независимы. А в моей задаче про зависимость ничего не сказано.