2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение20.08.2024, 22:24 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Without Name в сообщении #1650909 писал(а):
Остается доказать, что $K$ не является подкольцом.

Нет же, это уже подполе. Надо доказать, что $K$ содержит все рациональные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение20.08.2024, 23:14 
Аватара пользователя


03/01/23
73
dgwuqtj в сообщении #1650912 писал(а):
Without Name в сообщении #1650909 писал(а):
Остается доказать, что $K$ не является подкольцом.

Нет же, это уже подполе. Надо доказать, что $K$ содержит все рациональные числа.

А как это доказать? У меня что-то нет никаких идей кроме как рассмотреть какие-нибудь суммы рациональных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение20.08.2024, 23:30 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Вот вы знаете, что там есть 0 и 1. Докажите теперь по порядку, что
1. В $K$ находятся все натуральные числа.
2. В $K$ находятся все целые числа.
3. В $K$ все рациональные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение21.08.2024, 19:09 
Аватара пользователя


03/01/23
73
1. В $K$ находятся все натуральные числа, потому что мы можем построить все суммы вида: $0, 0+1, 0+1+1, 0+1+1+1...$ и так далее.
2. В $K$ содержатся все целые числа потому, что в дополнение к предыдущему пункту мы можем построить разности вида $0-1, 0-1-1, 0-1-1-1, ...$
3. В $K$ содержатся все рациональные числа потому, что мы можем построить все отношения целых чисел вида $\frac{p}{q}, p,q\in K$

Это правильно? Мы можем все это сделать потому, что $K$ по предположению - подполе. Это правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение21.08.2024, 19:19 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Всё верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение24.08.2024, 11:14 
Аватара пользователя


03/01/23
73
Как понять, что отношение эквивалентности на множестве называется согласованным с операцией?

Пусть в множестве $M$ задана некоторая операция $(x, y) \to x\cdot y$. Отношение эквивалентности $R$ в множестве $M$ называется согласованным с операцией $\cdot$, если $a \sim a', b \sim b' \Rightarrow a\cdot b \sim a' \cdot b` $. В этом случае на фактормножестве $M/R$ также можно определить операцию $\cdot$ по правилу $R(a) \cdot R(b) = R(a \cdot b)$.

Как это понимать? Я пока из этого определения понял, что если есть пара элементов из одного класса эквивалентности и пара элементов из другого класса эквивалетности, то мы можем вычислить значение операции над элементами из разных классов эквивалентности, но больше я тут ничего не понял. Объясните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение24.08.2024, 11:19 


21/12/16
721
Классы эквивалентности можно перемножать корректно. Берем любой элемент из класса $A$ умножаем на любой элемент из класса $B$ получаем элемент из класса $C$. Класс $C$ не зависит от того какие любые элементы мы боали из классов $A,B$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение24.08.2024, 12:21 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Тут можно думать не про операции, а вообще про отображения $f \colon M \to N$ в какое-то множество $N$. Хочется, чтобы $f$ задавало новое отображение $f' \colon M / R \to N$ по правилу $f'(R(a)) = f(a)$. Вот чтобы такое $f'$ можно было задать, вам и требуется условие $a \sim a' \Rightarrow f(a) = f(a')$.

Применительно к бинарным операциям у вас было отображение $M \times M \to M$, вы берёте его композицию с $M \to M / R$ и получаете $M \times M \to M / R, (a, b) \mapsto R(a \cdot b)$. После этого надо применить рассуждение выше к каждому аргументу по отдельности, чтобы индуцировать операцию $(M / R) \times (M / R) \to M / R$.

-- 24.08.2024, 12:26 --

Without Name в сообщении #1651246 писал(а):
и пара элементов из другого класса эквивалетности

Не обязательно из другого класса, может и из того же самого. Нам же надо в том числе и перемножать классы эквивалентности на себя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение27.08.2024, 19:07 
Аватара пользователя


03/01/23
73
"Доказать, что при любом $n$ элемент $\bar{k}$ обратим в кольце $Z_n$ тогда и только тогда, когда $n$ и $k$ взаимно просты".

1) Пусть $\bar{k}$ обратим в $Z_n$, тогда он имеет обратный ${\bar{k}}^{-1}$ такой, что $\bar{k}{ \bar{k}}^{-1} = 1 $. Мы можем записать $\bar{k}{ \bar{k}}^{-1} - \bar{m} \bar{n} = 1$, это диофантово уравнение относительно $\bar{k}^{-1}$ и $\bar{m}$, которое разрешимо тогда, когда наибольший общий делитель$(k, m)$ делит единицу, то есть когда $k$ и $m$ взаимно просты.

Как отсюда вывести, что $k$ и $n$ взаимно просты?

2) Как доказать утверждение в обратном порядке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение27.08.2024, 19:13 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
А что вы вообще знаете про НОД?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение27.08.2024, 19:19 
Аватара пользователя


03/01/23
73
Что он выражается как линейная комбинация с целыми числами. Если $(a, b) = d$, то $d = ax + by, x, y \in Z$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение27.08.2024, 19:20 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Ну так это в одну сторону доказывает. А в другую посмотрите на определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение28.08.2024, 10:40 
Аватара пользователя


03/01/23
73
Разбираюсь с леммой, чтобы восполнить проблемы в знаниях. Числа $a, b \in Z$ взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют ${m}_{1}, {m}_{2} \in Z$ такие, что $a{m}_{1} + b{m}_{2}=1$. Доказательство. Пусть $a{m}_{1} + b{m}_{2}=1$, тогда любой общий делитель $d$ чисел $a, b$ является делителем числа 1, то есть $a, b$ взаимно просты.

Я здесь не понимаю элементарных свойств делимости. Почему из того, что числа $a, b$ имеют общий делитель, следует, что он делит число 1? Там ведь еще есть числа ${m}_{1}, {m}_{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение28.08.2024, 11:04 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
У делимости вообще мало элементарных свойств. Вы их список видели? В учебнике за 6 класс точно были, ну и в Википедии есть. Просто некоторые свойства применимы только к конкретным классам колец типа евклидовых, а некоторые - вообще ко всем коммутативным кольцам с 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по алгебре из Винберга
Сообщение28.08.2024, 11:08 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
Without Name в сообщении #1652073 писал(а):
Почему из того, что числа $a, b$ имеют общий делитель, следует, что он делит число 1? Там ведь еще есть числа ${m}_{1}, {m}_{2}$
Неужели не видно, что число $am_1+bm_2$ делится на любое число, на которое делятся $a$ и $b$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group