Плотность распределения случайной величины

[_Yaroslav_]

Здравствуйте!

Я пытаюсь решить свою задачу по аналогии с решением задачи AlexValk post472446.html. Но у меня в итоге ответ не сошелся. Помогите, пожалуйста, довести до верного ответа.

$\int_{0}^{2}\int_{3}^{5}Adxdy=4A=1\rightarrow A=\frac{1}{4}$

$f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{4}$

$f_{A(x,y)}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(z-A(x,y))f_{X,Y}(x,y)dxdy$

$f_{xy}(z)=\int_{0}^{2}\int_{3}^{5}\delta(z-xy)\frac{1}{4}dxdy=|t=xy,dt=\frac{dx}{y},3\rightarrow3y,5\rightarrow5y|=\int_{0}^{2}\int_{3y}^{5y}\delta(z-t)\frac{y}{4}dtdy=\frac{1}{4}\int_{0}^{2}h(5y-z)h(z-3y)ydy=\frac{1}{4}\int_{\max(z,0)}^{\max(z,2)}ydy=\frac{1}{8}y^{2}|_{\max(z,0)}^{\max(z,2)}=\frac{1}{8}((\max(z,2))^{2}-(\max(z,0))^{2})=\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{4},z\leqslant0\\ \frac{1}{8}(4-z^{2}),0\leqslant z\leqslant2\\ 0,2\leqslant z \end{array} \right.$

$h(k)=\left\{ \begin{array}{l} 1, k>0\\ 0, k\leqslant0 \end{array} \right.$

$h(k)$ - функция Хэвисайда

$\delta(k)=\left\{ \begin{array}{l} \infty, k=0\\ 0, k\neq0 \end{array} \right.$

$\delta(k)$ - Дельта функция Дирака

[Combat Zone]

_Yaroslav_
Нужна постановка задачи.

[_Yaroslav_]

Combat Zone
Случайный вектор равномерно распределен в области $D{(x,y):0<x<2,3<y<5}.$ Найти плотность распределения случайной величины $XY.$

[Combat Zone]

Результат неправдоподобен. Я, возможно, чего-то не знаю, объясните мне ваше решение начиная с плотности произведения.

-- 26.08.2024, 22:02 --

Ага, вижу, откуда вы взяли формулу. Но результат от этого правдоподобным не становится. Другие способы вам неизвестны? Попробуйте обойтись без дельта-функции.

[_Yaroslav_]

Решение задачи AlexValk post472446.html

Прямой способ найти плотность случайной величины $Z=A(X,Y)$ по совместной плотности $f_{X,Y}(x, y)$ (неважно, зависимых или независимых величин $X,Y$) – использовать $\delta$-функцию Дирака:

$$f_{ A(X,Y)}(z)=\int \delta(z-A(x,y)) f_{X,Y}(x, y) dx dy.$$

В Вашем случае имеем
$\begin{multline*}f_{XY}(z)=\int_1^\infty \int_0^1\delta(z-xy) \frac{4x}{y^3} \textrm{d}x \textrm{d}y \stackrel{t=xy}{=} \int_1^\infty \int_0^y\delta(z-t) \frac{4t}{y^5} \textrm{d}t \textrm{d}y= 4z \theta(z)\int_1^\infty \theta(y-z) y^{-5} \textrm{d}y=\\= 4z \theta(z)\int_{\max(z,1)}^\infty y^{-5} \textrm{d}y = \theta(z)\frac{z}{\max^4(z,1)}\equiv\begin{cases}0, & z<0,\\ z, & z\in [0;\,1],\\ 1/z^3 & z>1. \end{cases}\end{multline*}$
Здесь $\theta(z)=\begin{cases}1, & z>0, \\ 0, & z \leq 0\end{cases}$ - функция Хевисайда. Она, также как и символ $\max(z,1)$, использовалась лишь для того, чтобы "укомпактить" разбор разных случаев.

-- 26.08.2024, 23:07 --

"Результат неправдоподобен." - Combat Zone,Так я и хочу понять, где у меня ошибка в решении.

-- 26.08.2024, 23:11 --

Была еще идея решать через свертку, но для ее применения случайные величины должны быть независимы. А в моей задаче про зависимость ничего не сказано.

[Combat Zone]

Свертка не с неба сваливается. Она из более общего рассуждения, которое годится в любом случае - и зависимом тоже. В этом случае начинают вычислять функцию распределения требуемой с.в.

-- 26.08.2024, 22:19 --

Попробуйте. Это интересно - в познавательных целях.
Что до независимости - они независимы. Можете доказать. Но это уже скучно. Слишком много добра бесплатно.

[_Yaroslav_]

Пусть $Z=XY$.

Формула свертки для произведения имееет вид: $f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(\frac{z}{t})f_{Y}(t)\frac{1}{\abs{t}}dt$.

Площадь: $S=(2-0)(5-3)=4\rightarrow f_{XY}(x,y)=\frac{1}{4}$.

$f_{X}(x)=\int_{3}^{5}\frac{1}{4}dy=\frac{1}{2}$.

$f_{Y}(y)=\int_{0}^{2}\frac{1}{4}dx=\frac{1}{2}$.

$f_{X}(x)f_{Y}(y)=f_{XY}(x,y)$ - значит случайные величины независимы.

[Combat Zone]

Они совсем-совсем не зависят от своих аргументов?

[_Yaroslav_]

Combat Zone
Я неправильно пределы интегрирования указал? Формулу перепроверил. В общем виде она выглядит так: $f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y}(x, y)dy$.

[Combat Zone]

Иначе: $f_X$ равно 1/2 на всей прямой, всюду?

[_Yaroslav_]

Combat Zone

$f_{X}(x)=\frac{1}{2}$ на $3<y<5$.

$f_{Y}(y)=\frac{1}{2}$ на $0<x<2$.

[Combat Zone]

Ага. Теперь можно продолжать. Якобиан там, кстати, не слишком правильный, в формуле для плотности произведения. Ну или просто переписали плохо, если переписывали.

-- 26.08.2024, 23:22 --

_Yaroslav_ в сообщении #1651839 писал(а):

$f_{X}(x)=\frac{1}{2}$ на $3<y<5$.

$f_{Y}(y)=\frac{1}{2}$ на $0<x<2$.

Стоп, а что это мы. Как исхитряется функция переменной икс быть заданной на отрезке для игрек? И наоборот?

[_Yaroslav_]

$f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(\frac{z}{t})f_{Y}(t)\frac{1}{|t|}dt=\frac{1}{4}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|t|}dt$

$z=xy$

$0<\frac{z}{t}<2\rightarrow\frac{z}{2}<t$

$3<t<5$

Соответственно надо рассмотреть три области: $\frac{z}{2}<3$, $3<\frac{z}{2}<5$, $\frac{z}{2}>5$

-- 27.08.2024, 00:34 --

Combat Zone, я опечатался.

$f_{X}(x)=\frac{1}{2}$ на $0<x<2$.

$f_{Y}(y)=\frac{1}{2}$ на $3<y<5$.

[Combat Zone]

Интеграл в конце первой строки дурной вышел, он расходится. А так и смотрите потихоньку, разбивая на разные промежутки. Идею вы уловили.
Сегодня, может, и не успеете - завтра посмотрим я или кто-то еще, что вышло.

[ozheredov]

_Yaroslav_ в сообщении #1651819 писал(а):

для ее применения случайные величины должны быть независимы

_Yaroslav_, если Вы сразу не видите, что Ваши СВ независимы - Вы, без обид, не понимаете вообще на что смотрите. Один чел, заблудившись в чужой стране и не зная языка, захотел есть и придумал тактику: он внимательно послушал, что заказывает первый попавшийся посетитель кафе, и попытался воспроизвести ту же звуковую последовательность. Только до недавнего времени это был анекдот, а сейчас наблюдается всё больше индивидов, пытающихся тем жде способом постичь в основном программирование и Data Science, но в последнее время и матан тоже.