2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 20  След.
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 18:22 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Elijah96 в сообщении #1651439 писал(а):
Короче я вообще запутался что и как(

Аксиома экстенсиональности: множества $A$ и $B$ равны тогда и только тогда, когда для любого элемента $x$ из $x \in A$ следует $x \in B$ и наоборот. Так что $\{1, 1\} = \{1\}$, этим множествам принадлежит только элемент 1. Никаких кратностей в множествах не бывает.

Вообще, если не вдаваться в различия между множествами и классами, то множество $X$ — это просто некоторый предикат на совокупности всех математических объектов, то есть оно по каждому объекту выдаёт истину (если объект ему "принадлежит") или ложь. Когда мы пишем $\{1, 2\}$, это означает множество, которому принадлежат 1 и 2, а всё остальное — не принадлежит. Запись $\{1, 1\}$ означает буквально то же самое, что и $\{1\}$. Операции $\cap$, $\cup$, $\setminus$ соответствуют логическим операциям с предикатами (конъюнкции, дизъюнкции и импликации с переставленными аргументами). Ну а дополнение множества соответствовало бы отрицанию, если бы это дополнение существовало в ZFC.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 18:24 


09/01/24
274
$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

Если $x$ не принадлежит ни одному множеству ни $|A|$ ни $|B|$ ни $|C|$ то он учтен 0 раз и в левой и в правой части
Если $x$ принадлежит только множеству или $|A|$ или $|B|$ или $|C|$ то он учтен по 1 разу в каждом множестве и в левой и в правой части
Если $x$ принадлежит пересечению множеств $ |A \cap B| $ то в левой части он учтен один раз,а в правой части он учтен в слагаемых $ |A|,|B|,|A \cap B|,|A \cap B \cap C| $
Если $x$ принадлежит пересечению множеств $|A \cap C| $ то в левой части он учтен один раз,а в правой части он учтен в слагаемых $ |A|,|C|,|A \cap C|,|A \cap B \cap C| $
Если $x$ принадлежит пересечению множеств $|B \cap C| $ то в левой части он учтен один раз,а в правой части он учтен в слагаемых $ |B|,|C|,|B \cap C|,|A \cap B \cap C| $
Если $x$ принадлежит пересечению множеств $|A \cap B \cap C| $ то в левой части он учтен один раз,а в правой части он учтен в слагаемых $|A|,|B|,|C|,|A \cap B|,|A \cap C|,|B \cap C|,|A \cap B \cap C|$

Я попытался распространить для трех множеств то,что Вы написали для двух множеств

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 18:33 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
Во-первых, $x$ не может принадлежать числам $|A|$, $|B|$ и так далее. Во-вторых, из $x \in A \cap B$ не следуют ни $x \in A \cap B \cap C$, ни $x \notin A \cap B \cap C$. Ну и если $x \in A \setminus (B \cup C)$, то он не "учтён в множествах", а посчитан в их мощностях, причём не во всех из правой части, а только в одной-единственной (собственно, в $|A|$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 18:36 


09/01/24
274
dgwuqtj в сообщении #1651445 писал(а):
Во-первых, $x$ не может принадлежать числам $|A|$, $|B|$ и так далее. Во-вторых, из $x \in A \cap B$ не следуют ни $x \in A \cap B \cap C$, ни $x \notin A \cap B \cap C$. Ну и если $x \in A \setminus (B \cup C)$, то он не "учтён в множествах", а посчитан в их мощностях, причём не во всех из правой части, а только в одной-единственной (собственно, в $|A|$).


Да,легче не стало
Короче я эту формулу похоже не докажу(

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 18:50 


22/11/22
605
Elijah96 в сообщении #1651426 писал(а):
Пусть есть три множества A,B,C

$A = \lbrace 1,2,6,8 \rbrace , B = \lbrace1,9,6,7 \rbrace , C = \lbrace 1,5,8,9 \rbrace , A \cap B = \lbrace 1,6 \rbrace , A \cap C = \lbrace 1,8 \rbrace , B \cap C = \lbrace 1,9 \rbrace , A \cap B \cap C = \lbrace 1 \rbrace $

Берем формулу включений/исключений

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

Напишите левую и правую часть последней формулы для ваших множеств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 18:54 


09/01/24
274
Combat Zone в сообщении #1651449 писал(а):
Напишите левую и правую часть последней формулы для ваших множеств.


Какой последней формулы?
Я просто заменил множество на элементы входящие в него
Но мне уже сказали что так не работает
И если Вы хотите еще раз доказать что я не прав,то не стоит,я это и так уже понял

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 18:59 


22/11/22
605
Я ничего не хочу доказать, я хочу понять, в чем проблема. Тут выше выяснили, что например в том, что вы не знаете, что такое объединение. Но она не одна. Как вы понимаете последнюю формулу, что там будет стоять для ваших конкретных множеств? Вы опять считаете, что множества. А ведь уже обсудили вроде, что две палочки не просто так рисуют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 19:01 


09/01/24
274
dgwuqtj в сообщении #1651371 писал(а):
Вообще давайте введём обозначение $\cup_{\geq 2}(A_1, \ldots, A_n) = \bigcup_{1 \leq i < j \leq n} (A_i \cap A_j)$, то есть множество тех элементов, которые входят в хотя бы два множества из $A_1, \ldots, A_n$ (вам вроде именно это надо). Можно руками получить такие формулы: $|\cup_{\geq 2}(A)| = 0$, $|\cup_{\geq 2}(A, B)| = |A \cap B|$, $|\cup_{\geq 2}(A, B, C)| = |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - 2 |A \cap B \cap C|$,
$$\substack{|\cup_{\geq 2}(A, B, C, D)| = |A \cap B| + |A \cap C| + |A \cap D| + |B \cap C| + |B \cap D| + |C \cap D|\\ - 2 |A \cap B \cap C| - 2 |A \cap B \cap D| - 2 |A \cap C \cap D| - 2 |B \cap C \cap D| + 3 |A \cap B \cap C \cap D|}.$$
А дальше можете угадать формулу и попробовать её доказать...


То есть сначала нужно сложить все попарные пересечения,затем дважды вычесть все тройные пересечения,затем трижды прибавить четверное пересечение и т.д. до окончания расчетов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 19:06 


22/11/22
605
post1651451.html#p1651451 я про это. Вы сейчас про что-то странное, не отклоняйтесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 19:08 


09/01/24
274
Combat Zone в сообщении #1651453 писал(а):
Я ничего не хочу доказать, я хочу понять, в чем проблема.


Проблема в том что я не докажу формулу включений/исключений

Elijah96 в сообщении #1651455 писал(а):
Как вы понимаете последнюю формулу, что там будет стоять для ваших конкретных множеств?


Вы про это?

$ \lbrace 1,2,5,6,7,8,9 \rbrace = \lbrace 1,2,6,8 \rbrace + \lbrace 1,9,6,7 \rbrace + \lbrace 1,5,8,9 \rbrace - \lbrace 1,6 \rbrace - \lbrace 1,8 \rbrace - \lbrace 1,9 \rbrace + \lbrace 1 \rbrace$

Combat Zone в сообщении #1651453 писал(а):
А ведь уже обсудили вроде, что две палочки не просто так рисуют.


Две палочки это мощность,то есть количество элементов входящих в множество.
Я вроде это уже писал

-- 25.08.2024, 19:10 --

Combat Zone в сообщении #1651456 писал(а):
Вы сейчас про что-то странное, не отклоняйтесь.


Это ответ на ранний пост от dgwuqtj

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 19:12 


22/11/22
605
Elijah96 в сообщении #1651457 писал(а):
Вы про это?

так что в формулу включений-исключений входит? Мощность или множество?
Elijah96 в сообщении #1651457 писал(а):
Две палочки это мощность,то есть количество элементов входящих в множество.
Я вроде это уже писал

Писать-то вы писали...

-- 25.08.2024, 18:13 --

Elijah96 в сообщении #1651457 писал(а):
Это ответ на ранний пост от dgwuqtj

Вы успели ответить и на мой тоже. И потом стерли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 19:14 


09/01/24
274
Combat Zone в сообщении #1651458 писал(а):
так что в формулу включений-исключений входит? Мощность или множество?


Мощность множеств?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 19:14 


22/11/22
605
Так. А почему вы складываете множества?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 19:15 


09/01/24
274
Combat Zone в сообщении #1651460 писал(а):
Так. А почему вы складываете множества?


Где?
В формуле включений/исключений складываются мощности множеств

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула включений/исключений
Сообщение25.08.2024, 19:16 


22/11/22
605
Elijah96 в сообщении #1651457 писал(а):
$ \lbrace 1,2,5,6,7,8,9 \rbrace = \lbrace 1,2,6,8 \rbrace + \lbrace 1,9,6,7 \rbrace + \lbrace 1,5,8,9 \rbrace - \lbrace 1,6 \rbrace - \lbrace 1,8 \rbrace - \lbrace 1,9 \rbrace + \lbrace 1 \rbrace$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 298 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 20  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group