2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 36, 37, 38, 39, 40
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение27.07.2024, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7037
Sinoid в сообщении #1647575 писал(а):
Еще же нужно доказать положительность $a_{i\,i}-{\displaystyle \sum_{v=1}^{i-1}l_{i\,v}^{2}}$

Не знаю, как для этого случая:
Sinoid в сообщении #1647575 писал(а):
комплекснозначных эрмитовых матриц

А для действительных симметричных положительно определённых это так. Доказательство не помню. Может по индукции. Доказательство можно найти в книгах по вычислительным методам. Например, Тыртышников, "Методы численного анализа", пар. 7.6.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение27.07.2024, 21:40 


03/06/12
2858
мат-ламер в сообщении #1647579 писал(а):
Sinoid в сообщении #1647575 писал(а):
Еще же нужно доказать положительность $a_{i\,i}-{\displaystyle \sum_{v=1}^{i-1}l_{i\,v}^{2}}$

Не знаю, как для этого случая:
Sinoid в сообщении #1647575 писал(а):
комплекснозначных эрмитовых матриц

А для действительных симметричных положительно определённых это так. Доказательство не помню. Может по индукции. Доказательство можно найти в книгах по вычислительным методам. Например, Тыртышников, "Методы численного анализа", пар. 7.6.

Мне почему-то кажется, что в том случае, про который говорите вы, можно через положительность главных миноров положительно определенной квадратичной формы с действительными коэффициентами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение28.07.2024, 04:24 


03/06/12
2858
Sinoid в сообщении #1647575 писал(а):
Еще же нужно доказать положительность $a_{i\,i}-{\displaystyle \sum_{v=1}^{i-1}l_{i\,v}^{2}}$

Ну вот в случае $n=2$ уже есть. Пусть матрица $A=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1}\\
a_{2\,1} & a_{2\,2}
\end{pmatrix}$ - симметричная положительно определенная матрица с действительными коэффициентами никакое условие не забыл?. Тогда $a_{1\,1}>0$ и $\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1}\\
a_{2\,1} & a_{2\,2}
\end{vmatrix}>0$. Далее, если $L=\begin{pmatrix}l_{1\,1} & 0\\
l_{2\,1} & l_{2\,2}
\end{pmatrix}$, то $l_{2\,1}=\dfrac{a_{2\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}$ и ${\displaystyle a_{2\,2}-\sum_{p=1}^{1}l^2_{2\,p}=}$ в цитате настоящего поста, как и в формуле из этой цитате, цитируемой до этого поста, самой этой формуле, написанной мной до настоящего я почему-то индекс суммирования использовал не тот, что на странице в Вики по приведенной мной ссылке. Исправляюсь. $=a_{2\,2}-l_{2\,1}^{2}=a_{2\,2}-\dfrac{a_{2\,1}^{2}}{a_{1\,1}}=\dfrac{a_{1\,1}a_{2\,2}-a_{2\,1}^{2}}{a_{1\,1}}=\dfrac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1}\\
a_{2\,1} & a_{2\,2}
\end{vmatrix}}{a_{1\,1}}>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение17.08.2024, 03:37 


03/06/12
2858
Sinoid в сообщении #1647575 писал(а):
$A=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1} & a_{3\,1} & \ldots & a_{n-2\,1} & a_{n-1\,1} & a_{n\,1}\\
a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{3\,2} & \ldots & a_{n-2\,2} & a_{n-1\,2} & a_{n\,2}\\
a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & \ldots & a_{n-2\,3} & a_{n-1\,3} & a_{n\,3}\\
\hdotsfor{7}\\
a_{n-2\,1} & a_{n-2\,2} & a_{n-2\,3} & \ldots & a_{n-2\,n-2} & a_{n-1\,n-2} & a_{n\,n-2}\\
a_{n-1\,1} & a_{n-1\,2} & a_{n-1\,3} & \ldots & a_{n-1\,n-2} & a_{n-1\,n-1} & a_{n\,n-1}\\
a_{n\,1} & a_{n\,2} & a_{n\,3} & \ldots & a_{n\,n-2} & a_{n\,n-1} & a_{n\,n}
\end{pmatrix}_{(n)}$, $L=\begin{pmatrix}l_{1\,1} & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\
l_{2\,1} & l_{2\,2} & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\
l_{3\,1} & l_{3\,2} & l_{3\,3} & \ldots & 0 & 0 & 0\\
\hdotsfor{7}\\
l_{n-2\,1} & l_{n-2\,2} & l_{n-2\,3} & \ldots & l_{n-2\,n-2} & 0 & 0\\
l_{n-1\,1} & l_{n-1\,2} & l_{n-1\,3} & \ldots & l_{n-1\,n-2} & l_{n-1\,n-1} & 0\\
l_{n\,1} & l_{n\,2} & l_{n\,3} & \ldots & l_{n\,n-2} & l_{n\,n-1} & l_{n\,n}
\end{pmatrix}_{(n)}$, $L^{t}=\begin{pmatrix}l_{1\,1} & l_{2\,1} & l_{3\,1} & \ldots & l_{n-2\,1} & l_{n-1\,1} & l_{n\,1}\\
0 & l_{2\,2} & l_{3\,2} & \ldots & l_{n-2\,2} & l_{n-1\,2} & l_{n\,2}\\
0 & 0 & l_{3\,3} & \ldots & l_{n-2\,3} & l_{n-1\,3} & l_{n\,3}\\
\hdotsfor{7}\\
0 & 0 & 0 & \ldots & l_{n-2\,n-2} & l_{n-1\,n-2} & l_{n\,n-2}\\
0 & 0 & 0 & \ldots & l_{n-1\,n-2} & l_{n-1\,n-1} & l_{n\,n-1}\\
0 & 0 & 0 & \ldots & l_{n\,n-2} & l_{n\,n-1} & l_{n\,n}
\end{pmatrix}_{(n)}$, $\begin{pmatrix}l_{1\,1} & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\
l_{2\,1} & l_{2\,2} & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\
l_{3\,1} & l_{3\,2} & l_{3\,3} & \ldots & 0 & 0 & 0\\
\hdotsfor{7}\\
l_{n-2\,1} & l_{n-2\,2} & l_{n-2\,3} & \ldots & l_{n-2\,n-2} & 0 & 0\\
l_{n-1\,1} & l_{n-1\,2} & l_{n-1\,3} & \ldots & l_{n-1\,n-2} & l_{n-1\,n-1} & 0\\
l_{n\,1} & l_{n\,2} & l_{n\,3} & \ldots & l_{n\,n-2} & l_{n\,n-1} & l_{n\,n}
\end{pmatrix}_{(n)}\cdot$

$\begin{pmatrix}l_{1\,1} & l_{2\,1} & l_{3\,1} & \ldots & l_{n-2\,1} & l_{n-1\,1} & l_{n\,1}\\
0 & l_{2\,2} & l_{3\,2} & \ldots & l_{n-2\,2} & l_{n-1\,2} & l_{n\,2}\\
0 & 0 & l_{3\,3} & \ldots & l_{n-2\,3} & l_{n-1\,3} & l_{n\,3}\\
\hdotsfor{7}\\
0 & 0 & 0 & \ldots & l_{n-2\,n-2} & l_{n-1\,n-2} & l_{n\,n-2}\\
0 & 0 & 0 & \ldots & l_{n-1\,n-2} & l_{n-1\,n-1} & l_{n\,n-1}\\
0 & 0 & 0 & \ldots & l_{n\,n-2} & l_{n\,n-1} & l_{n\,n}
\end{pmatrix}_{(n)}=$

$\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1} & a_{3\,1} & \ldots & a_{n-2\,1} & a_{n-1\,1} & a_{n\,1}\\
a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{3\,2} & \ldots & a_{n-2\,2} & a_{n-1\,2} & a_{n\,2}\\
a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & \ldots & a_{n-2\,3} & a_{n-1\,3} & a_{n\,3}\\
\hdotsfor{7}\\
a_{n-2\,1} & a_{n-2\,2} & a_{n-2\,3} & \ldots & a_{n-2\,n-2} & a_{n-1\,n-2} & a_{n\,n-2}\\
a_{n-1\,1} & a_{n-1\,2} & a_{n-1\,3} & \ldots & a_{n-1\,n-2} & a_{n-1\,n-1} & a_{n\,n-1}\\
a_{n\,1} & a_{n\,2} & a_{n\,3} & \ldots & a_{n\,n-2} & a_{n\,n-1} & a_{n\,n}
\end{pmatrix}_{(n)}$
$l_{1\,1}^{2}=a_{1\,1}$, $l_{1\,1}=\sqrt{a_{1\,1}}$, а при $j\in\left[2,\ldots,n\right]$

$\begin{equation}
l_{j\,1}l_{1\,1}=a_{j\,1}
\end{equation}$

‚ откуда $l_{j\,1}=\dfrac{a_{j\,1}}{l_{1\,1}}$.

В силу последней формулы: $\left\{ \begin{matrix}l_{1\,1} & = & \sqrt{a_{1\,1}}\\
l_{2\,1} & = & \dfrac{a_{2\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}\\
l_{3\,1} & = & \dfrac{a_{3\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}\\
l_{4\,1} & = & \dfrac{a_{4\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}\\
l_{5\,1} & = & \dfrac{a_{5\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}\\
\hdotsfor{3}\\
l_{n-4\,1} & = & \dfrac{a_{n-4\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}\\
l_{n-3\,1} & = & \dfrac{a_{n-3\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}\\
l_{n-2\,1} & = & \dfrac{a_{n-2\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}\\
l_{n-1\,1} & = & \dfrac{a_{n-1\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}\\
l_{n\,1} & = & \dfrac{a_{n\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}
\end{matrix}\right.$. Проверьте, пжл, выкладки дальше: $\begin{matrix}l_{2\,1}^{2}+l_{2\,2}^{2}=a_{2\,2},\,\,l_{2\,2}=\sqrt{a_{2\,2}-\dfrac{a_{2\,1}^{2}}{a_{1\,1}}}=\sqrt{\dfrac{a_{1\,1}a_{2\,2}-a_{2\,1}^{2}}{a_{1\,1}}}=\sqrt{\dfrac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1}\\
a_{2\,1} & a_{2\,2}
\end{vmatrix}}{a_{1\,1}}},\\
l_{3\,1}l_{2\,1}+l_{3\,2}l_{2\,2}=a_{3\,2},\,\,l_{3\,2}=\dfrac{a_{3\,2}-l_{2\,1}l_{3\,1}}{l_{2\,2}}=\dfrac{a_{3\,2}-\dfrac{a_{2\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}\cdot\dfrac{a_{3\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}}{\sqrt{\dfrac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1}\\
a_{2\,1} & a_{2\,2}
\end{vmatrix}}{a_{1\,1}}}}=\\
\dfrac{a_{1\,1}a_{3\,2}-a_{2\,1}a_{3\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1}\\
a_{2\,1} & a_{2\,2}
\end{vmatrix}}}\,\,l_{3\,2}=\dfrac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1}\\
a_{3\,1} & a_{3\,2}
\end{vmatrix}}{\sqrt{a_{1\,1}\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1}\\
a_{2\,1} & a_{2\,2}
\end{vmatrix}}}
\end{matrix}$
Пока все. Скажите, пжл, вот до этого места все верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение17.08.2024, 13:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7037
Sinoid в сообщении #1650383 писал(а):
Пока все. Скажите, пжл, вот до этого места все верно?

В виду отсутствия времени пока посоветую сделать следующее. Возьмите произвольную нижнетреугольную матрицу, но с положительными элементами на диагонали. Умножьте её на симметричную к ней. Далее попробуйте применить к полученной матрице ваш алгоритм. Выйдите ли вы к исходной матрице?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.08.2024, 00:47 


03/06/12
2858
мат-ламер в сообщении #1650428 писал(а):
Sinoid в сообщении #1650383 писал(а):
Пока все. Скажите, пжл, вот до этого места все верно?

В виду отсутствия времени пока посоветую сделать следующее. Возьмите произвольную нижнетреугольную матрицу, но с положительными элементами на диагонали. Умножьте её на симметричную к ней. Далее попробуйте применить к полученной матрице ваш алгоритм. Выйдите ли вы к исходной матрице?

Да у меня тоже в голове есть подобный вариант. Просто не очень хочется в очередной раз устраивать Сталинград.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение18.08.2024, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7037
Sinoid в сообщении #1650383 писал(а):
Пока все. Скажите, пжл, вот до этого места все верно?

Вроде верно. По крайней мере, у меня получилось так же. Нет необходимости выражать $l_{ij}$ сугубо через $a_{ij}$ . Проще в формулах использовать ранее найденные $l_{ij}$ . По крайней мере, при написании программ используют такой подход (также и в учебниках по вычислительной математике).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение24.08.2024, 21:23 


13/12/15
19
Решаю тут задачу 4.12, там доказательства на индукцию. Не пойму, что делаю не так. В этой ветке этой задачи не было, так что думаю не будет лишней.

Итак, интересует пункт в).
Имеем определение последовательности:
$$u_0(t) = 0, \quad u_1(t) = 1, \quad u_n(t) = tu_{n-1}(t) - u_{n-2}(t)$$

Доказать надо, что $u_n(t)^2-u_k(t)^2 = u_{n-k}(t)u_{n+k}(t)$, где $k=0,1,\cdots,n$.

Решение. Для $n = 1$ при $k=0$ и $k=1$ равенство верно. Теперь шаг индукции.

Пусть для $n = m$ утверждение верно. Рассмотрим $n=m+1$. Надо доказать, что

$$u_{m+1}(t)^2-u_{k}(t)^2 = u_{m+1-k}(t)u_{m+1+k}(t).$$

Ясно, что как-то надо использовать предположение индукции, для этого надо понизить порядок номеров, а это можно сделать с помощью исходного рекуррентного соотношения.

$$u_{m+1} = tu_m-u_{m-1}$$

Подставим в левую часть, получим
$$t^2 u_m^2 - 2tu_m u_{m-1} +u_{m-1}^2-u_k^2 = t^2 u_m^2 - 2tu_m u_{m-1} + u_{m-1+k}u_{m-1-k}$$

Тут применили предположение индукции, но дальше видно, что добро не светит, потому что в правой части требуемого равенства номера больше. Понизим теперь номера в правой части.

$$\begin{align} &&u_{m+1-k}u_{m+1+k} = (tu_{m-k}-u_{m-k-1})(tu_{m+k}-u_{m+k-1}) = \\
&& =t^2u_{m-k}u_{m+k}-tu_{m-k}u_{m+k-1}-tu_{m-k-1}u_{m+k}+u_{m-k-1}u_{m+k-1}=\\
&& = t^2 u_m^2 - tu_{m-k}u_{m+k-1}-tu_{m-k-1}u_{m+k}+u_{m-k-1}u_{m+k-1}\end{align}$$

Сравниваем то, что получилось, сокращаем одинаковые члены, делим на $t$, и получаем, что остается доказать равенство
$$- 2u_m u_{m-1} = - u_{m-k}u_{m+k-1}-u_{m-k-1}u_{m+k}$$

И вот тут я почему-то встрял :) Буду рад, если подскажете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение02.09.2024, 00:29 


13/12/15
19
Alexzord в сообщении #1651307 писал(а):
Решаю тут задачу 4.12, там доказательства на индукцию. Не пойму, что делаю не так.


Понял. Надо было использовать 4.12(б), в котором я доказал, что для $t = 2\cos \theta$ верно, что $u_n(t) = \frac{\sin n\theta}{\sin \theta}$. Для таких $t$ утверждение в пункте в) доказывается просто тригонометрическими формулами, а дальше нужно сказать, что у нас рассматриваются многочлены, а значит, равенство на каком-то промежутке влечет равенство их везде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кострикин. Курс алгебры, задачник
Сообщение02.09.2024, 08:14 
Заслуженный участник


20/12/10
9007
Alexzord
Мне хотелось Вам намекнуть, что тождество легко доказывается с помощью явных формул, но я подумал, что Вы хотели именно по индукции, а это несколько скучно. Кстати, вот эти $u_n(t)$ --- это знаменитые многочлены Чебышева (2-го рода).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 595 ]  На страницу Пред.  1 ... 36, 37, 38, 39, 40

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group