Количество энергетических уровней в зоне проводимости

[Serg53]

sergey zhukov в сообщении #1625166 писал(а):

reterty
в статике внутри проводника со свободными зарядами (в непрерывном пределе) поля быть не может

В идеальном проводнике. Попутный вопрос. Имеется проводник длиной L диаметром D массой M с количеством атомов N. Какое количество энергетических уровней в зоне проводимости будут иметь электроны этого проводника?

[realeugene]

Serg53 в сообщении #1651270 писал(а):

В идеальном проводнике.

В однородном и при постоянной в пространстве температуре. Идеальность не нужна.

[Geen]

realeugene в сообщении #1651279 писал(а):

при постоянной в пространстве температуре

Ага, причём при нулевой...

[realeugene]

Geen в сообщении #1651282 писал(а):

Ага, причём при нулевой...

Зачем?

[Serg53]

realeugene в сообщении #1651279 писал(а):

В однородном и при постоянной в пространстве температуре. Идеальность не нужна.

Постоянный электрический ток течёт по всему сечению проводника, независимо от температуры, дислокаций и неоднородностей металла. Каким образом электроны передвигались бы внутри, если бы там не было электрического поля?

[Cos(x-pi/2)]

Serg53

Serg53 в сообщении #1651270 писал(а):

Имеется проводник длиной L диаметром D массой M с количеством атомов N. Какое количество энергетических уровней в зоне проводимости будут иметь электроны этого проводника?

Ответ зависит от вида кристаллической решётки конкретного металла и от свойств атомов в элементарной ячейке кристаллической решётки.

В физике твердых тел (ФТТ) есть вот какой факт. В простейших моделях кристаллических твердых тел элекронные состояния в каждой энергетической зоне нумеруются волновым вектором $\mathbf{k}$ и проекцией спина $s.$ Волновой вектор пробегает дискретные значения в так называемой первой зоне Бриллюэна; количество этих значений равно количеству $N$ элементарных ячеек в образце. Спиновое квантовое число $s$ принимает $2$ значения. Таким образом, в каждой энергетической зоне имеется $2N$ электронных состояний. Согласно принципу Паули, каждое состояние может быть заполнено только одним электроном или может быть не занято.

Значит, если на одну элементарную ячейку приходится $1$ атом, то количество элементарных ячеек $N$ равно количеству атомов в образце. При этом в каждой зоне, в том числе в зоне проводимости, имеется $2N$ состояний для электронов. В зоне проводимости находятся валентные электроны атомов. Значит, если атомы одновалентные, т.е. если каждый атом дает в зону проводимости по одному электрону, то получается наполовину заполненная зона проводимости: $2N$ состояний заселены $N$ электронами. Такое твердое тело имеет свойства проводника (металла). Это верно вообще для случаев, когда на одну элементарную ячейку приходится один электрон проводимости, и разные зоны на шкале энергии не перекрываются. Пример: одновалентные металлы Li, Na, K, Rb, Cs и "благородные" металлы Cu, Ag, Au.

Если в одной элементарной ячейке два (или более) атома, то всё зависит от того, сколько электронов они дают в элементарную ячейку. При чётном количестве атомов в ячейке имеется и чётное количество электронов в ячейке. В таких случаях, по крайней мере в некоторых, все $2N$ состояний наивысшей заполняемой электронами зоны могут оказаться заселёнными. Такой кристалл ведёт себя как диэлектрик; или - как полупроводник, если энергетическая щель ("запрещённая зона"), отделяющая заполненную зону от лежащей выше на шкале энергии не занятой зоны, достаточно мала.

Картина электронной зонной структуры в конкретном материале может быть сложной, она зависит от конкретных параметров атомов и кристаллической решётки. Если полностью заселённая зона перекрывается по энергии с лежащей выше пустой зоной, то образуется единая частично заполненная зона проводимости; такой кристалл называют полуметаллом, он ведёт себя как проводник.

Методы расчёта зонной структуры и методы её экспериментального исследования - это большая наука, обширная область в материаловедении. Притом, само понятие одноэлектронного зонного спектра энергии не всегда безусловно применимо.

Ну а если пренебречь всеми множителями "порядка единицы" (количеством атомов в одной элементарной ячейке, спиновой двойкой, нюансами зонной структуры), то, грубо говоря, количество электронных состояний в зоне проводимости по порядку величины близко к количеству атомов в образце.

Дискуссионным вопрос о зонной структуре мог бы быть, если бы речь шла о сравнении преимуществ и недостатков разных методов расчёта или экспериментальных методов в применении к конкретному мало изученному веществу.

А в простой постановке вопрос о количестве уровней в зоне проводимости - для форумного раздела ПРР(Ф). Есть много учебников по ФТТ, в них есть ответ; см., например, djvu-сканы книг в библиотеке eqworld: ФТТ. Например, см.:

Займан Дж. Принципы теории твердого тела. гл. 4, § 1. "Типы твердых тел. Зонная картина".

(В предыдущих главах там рассказано об основных понятиях, в том числе про зону Бриллюэна и т.п.)

[Serg53]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1651421 писал(а):

если пренебречь всеми множителями "порядка единицы" (количеством атомов в одной элементарной ячейке, спиновой двойкой, нюансами зонной структуры), то, грубо говоря, количество электронных состояний в зоне проводимости по порядку величины близко к количеству атомов в образце.

Большое спасибо за подробный и обстоятельный ответ. Если предположить, что ширина зоны проводимости порядка одного электрон-вольта, а количество атомов ~ 10^23 штук, то разность энергий между соседними уровнями будет примерно 10^-23 электрон-вольт. Так? Такая величина могла бы соответствовать энергии очень, очень длинноволнового фотона с длиной волны примерно 10 световых лет! Возможно ли существование такого гипотетического объекта?

Cos(x-pi/2) в сообщении #1651421 писал(а):

Картина электронной зонной структуры в конкретном материале может быть сложной, она зависит от конкретных параметров атомов и кристаллической решётки. Если полностью заселённая зона перекрывается по энергии с лежащей выше пустой зоной, то образуется единая частично заполненная зона проводимости; такой кристалл называют полуметаллом, он ведёт себя как проводник.

А графит, к какому типу материала можно отнести - проводник или полупроводник?

[realeugene]

Serg53 в сообщении #1651345 писал(а):

Постоянный электрический ток

При наличии тока - да. Я имел в виду статику.

[Cos(x-pi/2)]

Serg53 в сообщении #1651467 писал(а):

Если предположить, что ширина зоны проводимости порядка одного электрон-вольта, а количество атомов ~ 10^23 штук, то разность энергий между соседними уровнями будет примерно 10^-23 электрон-вольт.

Да, так, если оценивать очень приближённо.

Строго говоря, количество уровней энергии и количество состояний это не одно и тоже. Ведь состояния с волновыми векторами разного направления могут иметь одинаковую энергию (в частности, состояния с противоположно направленными волновыми векторами имеют один и тот же уровень энергии: $\varepsilon_{\mathbf{k}}=\varepsilon_{\mathbf{-k}})$. Есть специальное понятие - энергетическая плотность состояний $ g(\varepsilon). $ Эта функция показывает, как в данной зоне состояния распределены по шкале энергии: $g(\varepsilon)\,d\varepsilon$ равно числу состояний в интервале энергии $d\varepsilon$ в окрестности значения $\varepsilon.$ У краёв зоны плотность состояний стремится к нулю. В середине зоны плотность состояний имеет максимум (вернее, там возможна сложная картина с несколькими локальными экстремумами, зависящая от деталей энергетического спектра $\varepsilon_{\mathbf{k}}$ как функции от волнового вектора $\mathbf{k}).$

Т.е. уровни распределены на шкале энергии не равномерно. Но для рассуждений грубого качественного порядка да, можно считать, что в макроскопическом образце зазоры между уровнями это ничтожно малые величины - порядка ширины зоны, делённой на количество атомов. Физически это означает, что дискретность уровней существенна только для подсчёта заполнения зоны электронами (в соответствии с принципом Паули), а в остальных реально наблюдаемых эффектах зазоры между уровнями не проявляются. Эти зазоры малы по сравнению уширением $\Gamma$ уровней из-за имеющейся на практике нестационарности электронных состояний: $\Gamma \sim \hbar/\tau,$ где $\tau$ - время жизни состояния. Зазоры малы и по сравнению с энергией имеющихся на практике тепловых флуктуаций порядка $k_BT,$ где $k_B$ - постоянная Больцмана, $T$ - температура кристалла. В этом плане спектр энергии электронов в зоне проводимости можно считать непрерывным.

Тепловыми флуктуациями электроны всё время хаотично разбрасываются по уровням в интервале порядка $k_BT$ на шкале энергии там, где соседствуют занятые и свободные состояния. Такие переходы электронов с уровня на уровень могут сопровождаться излучением (и поглощением) фотонов с энергией порядка $k_BT$ - это наблюдаемое тепловое излучение тела, имеющего не равную нулю температуру $T.$ Точнее говоря, спектр теплового излучения широкий. Вклад в тепловое излучение от фотонов с малой энергией $\hbar\omega \ll k_BT$ мал, он стремится к нулю при $\hbar\omega \to 0.$ Поэтому фотоны с такой ничтожной энергией, как энергия зазоров между уровнями энергии в макроскопическом образце, думаю, обсуждать нет смысла.

Serg53 в сообщении #1651467 писал(а):

А графит, к какому типу материала можно отнести - проводник или полупроводник?

Проводник. (Нет данных о наличии в графите запрещённой зоны, которая отделяла бы полностью занятую электронами зону от (почти) пустой зоны проводимости, как в полупроводниках.)

[pppppppo_98]

Serg53 в сообщении #1651467 писал(а):

то разность энергий между соседними уровнями будет примерно 10^-23 электрон-вольт.

не.. не ..так... при взаимодействии двух двухуровневых квантовых систем у нас 4 ка было 4 состояния так и осталось, только сняолось вырождение уровней ввиду взаимодействия... если 3 квантовых системы 8 состояния- как было так и осталось... Ну так далее... Если было 10^23 квантоваых систем то уровней $2^{10^23}$ состояний с математической точкой зрения... С физическо -инженерное точки зрения из этого факта следует что энергетический расстояния между ближайшими уровнями настолько близко, что неразлисчимо ни одним даже самыми перспективным физическим прибором - то есть уровни вырождены и образуют непрерынвный спектр (с плотностью зависящей от деталей взаимодействия)

-- Пн авг 26, 2024 05:36:29 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #1651563 писал(а):

(Нет данных о наличии в графите запрещённой зоны, которая отделяла бы полностью занятую электронами зону от (почти) пустой зоны проводимости, как в полупроводниках.)

А как тогда на графене (из слоев которого состоит графит) собираются делать транзисторы... Или там рулят поверхностные эффекты и в графене таки запрещенная зона есть

[Serg53]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1651563 писал(а):

Нет данных о наличии в графите запрещённой зоны, которая отделяла бы полностью занятую электронами зону от (почти) пустой зоны проводимости, как в полупроводниках.

А как электропроводность и теплопроводность графита зависят от температуры, как у металлов или как у полупроводников? И какая у графита анизотропия свойств?

[Serg53]

pppppppo_98 в сообщении #1651567 писал(а):

А как тогда на графене (из слоев которого состоит графит) собираются делать транзисторы... Или там рулят поверхностные эффекты и в графене таки запрещенная зона есть

В справочнике 1960 года утверждается, что графит это полупроводник с шириной запрещённой зоны 0,1 электрон-вольт.

[Serg53]

Энергия 0,1 электрон-вольт у фотонов электромагнитного излучения с длиной волны 12 мкм. Это инфракрасный диапазон - тепловое излучение. Тело человека имеет максимум теплового излучения на длине волны примерно 9,5 мкм. При температуре объекта 500К или + 227 С, максимум теплового излучения находится на длине волны 5,8 мкм. Видимый свет имеет диапазон 0,4 - 0,7 мкм.

[Cos(x-pi/2)]

Serg53 в сообщении #1651876 писал(а):

В справочнике 1960 года утверждается, что графит это полупроводник с шириной запрещённой зоны 0,1 электрон-вольт.

Serg53
Предполагаю, поскольку Вы биолог, Вы хорошо знаете, что для того чтобы составить себе более-менее отчётливое представление о свойствах исследуемого объекта и о причинах, обусловливающих именно такие свойства, а не иные, приходится изучать объект всесторонне и долго; надо проводить разнообразные измерения, сравнивать результаты (и экспериментальные и теоретические) разных авторов, получаемые разными методами, и свои. Тогда только начинаешь "чувствовать" изучаемый материал, понимать степень надёжности данных и гипотетичности утверждений о нём.

В физике твердого тела, в материаловедении дело обстоит так же. Даже в случае долго и интенсивно изучавшихся материалов зачастую остаются хотя бы небольшие несоответствия данных из разных источников.

Ваш вопрос про графит меня заинтересовал, но по графиту я не специалист.

(Занимался полупроводниками А4B6, такими как PbTe, SnTe, GeTe. Их называют полупроводниками, потому что будь у них кристаллическая решётка идеальной, без дефектов, в них при $T\to 0$ зона проводимости, отделённая небольшой запрещённой зоной от валентной зоны, была бы без электронов, и валентная зона была бы без дырок. На практике же они ведут себя как "плохие металлы". Они обладают проводимостью p-типа (если они не легированы специальными примесями), не обращающейся в ноль при понижении температуры. Потому что у них кристаллическая решётка всегда имеет множество дефектов, и эти дефекты даже при низкой температуре дают в валентную зону много дырок, порядка $10^{19}\,\text{см}^{-3}.$

Это хорошо известный мне пример того, какой неопределённой может быть классификация материала по какому-то одному признаку. По расчётам зонной структуры это полупроводники с узкой запрещённой зоной, порядка десятых долей эВ. А по измерениям проводимости это проводники. Более того, при легировании PbTe таллием этот полупроводник становится металлом-сверхпроводником (p-типа) с температурой перехода в сверхпроводящее состояние порядка $1\,K.$ В родственных ему материалах, в которых Pb частично заменяется на Sn, а легирующей примесью служит In, при изменении состава наблюдается вообще замечательный ряд превращений. При постепенном переходе от PbTe к SnTe запрещенная зона уменьшается до нуля, а затем ветви спектра зоны проводимости и валентной зоны как бы меняются местами и запрещённая зона снова становится не равной нулю. При этом PbTе с примесью In ведёт себя как несверхпроводящий металл с носителями тока n-типа, но при замещении свинца оловом примесный уровень In движется вниз по шкале энергии, попадает в запрещённую зону и в некотором диапазоне составов возникает диэлектрическое состояние. В SnTe уровень In уже оказывается в валентной зоне, и получается металл-сверхпроводник p-типа, аналогичный PbTe с примесью Tl.)

Это я рассказал для иллюстрации того, что лишь "с высоты птичьего полёта" всё выглядит просто - по зонной структуре идеального кристалла мы относим его к одной из двух категорий: диэлектрик (или полупроводник) и металл (или полуметалл). Реальные же кристаллы могут иметь различные модификации, отклонения от стехиометрической формулы состава, включать примеси, и как раз такими нюансами определяются свойства материала, наблюдаемые в опытах.

Информацию о графите я просматривал в интернете примерно один день (что, конечно же, смехотворно мало); и понял, что это сложный материал. Углерод, в частности графит, допускает много различных модификаций, и поэтому данные о нём разных авторов могут различаться и могут быть в разной степени гипотетичными. Графит - слоистый; вдоль слоев проводимость металлического типа, поперёк - больше похожа на полупроводниковую.

Насколько я понял, до "эпохи графена" наиболее достоверной считалась зонная структура графита, рассчитанная по модели "Slonczewski-Weiss-McClure". Ссылки на статьи этих авторов ниже привожу, по doi можно их скачать в sci-hub; если это Вам интересно, посмотрите их сами, пересказывать их я не возьмусь. В этой модели зона проводимости немножко перекрывается с валентной, так что по этому признаку графит относится к полуметаллам.

В одной из самых ранних работ с расчетом зонной структуры графита (старые статьи мне старику представляются написанными более интересно и ясно, чем современные :) графит назван полупроводником с равной нулю запрещённой зоной; т.е. зона проводимости и валентная зона соприкасаются своими краями, так что в этой точке плотность состояний равна нулю:
P.R. Wallace, The Band Theory of Graphite. doi: 10.1103/PhysRev.71.622

Позже была получена похожая картина, но с небольшим перекрытием зон (т.е. плотность состояний мала в области перекрытия, но в ноль не обращается):

J.W. McClure, Band Structure of Graphite and de Haas-van-Alphen Effect. doi: 10.1103/PhysRev.108.612

J.C. SLonczewski, P.R. Weiss, Band Structure of Graphite. doi: 10.1103/PhysRev.109.272

Один из нагуглившихся более поздних расчетов (1984 г., в начале есть обзор и много ссылок):
R.C. Tatar, S. Rabii, Electronic properties of graphite: A unified theoretical study. doi: 10.1103/PhysRevB.25.4126

В 2004 г. началась "эпоха графена": была открыта возможность получения и исследования одиночного слоя графита. Популярной стала модель "дираковских фермионов"; в ней графен это двумерный полупроводник с нулевой запрещённой зоной. Не могу судить, это лишь модная теория, привлекающая эстетикой и аналогиями с моделями в физике элементарных частиц, или же она действительно хорошо описывает всю совокупность экспериментальных данных. Статья в УФН:
С.В. Морозов, К.С. Новоселов, А.К. Гейм, Электронный транспорт в графене.
https://ufn.ru/ru/articles/2008/7/i/

[Serg53]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1651982 писал(а):

Вы биолог

Нет, я не биолог, хотя биологией интересуюсь в течение всей жизни. У меня есть оптический микроскоп и предметные и покровные стёкла. В школе у меня и по химии и по биологии были отличные отметки. Моей специальностью была радиоэлектроника, автоматика и вычислительная техника. В ВУЗе отлично понимал математику, физику, химию, электротехнику и другие специальные науки, в том числе и материаловедение. В качестве хобби некоторое время уделял радиотехнике и астрономии, больше теоретически, чем практически. Интересно было прочитать книгу Шкловского "Вселенная жизнь разум". Однако считаю, что понятие "разум" слишком неопределённое, достаточно было бы использовать термин "мышление".
-
-
-

Cos(x-pi/2) в сообщении #1651982 писал(а):

это сложный материал. Углерод, в частности графит, допускает много различных модификаций, и поэтому данные о нём разных авторов могут различаться и могут быть в разной степени гипотетичными. Графит - слоистый; вдоль слоев проводимость металлического типа, поперёк - больше похожа на полупроводниковую.

Да, графит сложный материал, имеет много модификаций и различные свойства в разных плоскостях. Электропроводность у него с повышением температуры улучшается, как у полупроводников. У металлов наоборот, с повышением температуры электропроводность ухудшается. С помощью стального острия на графите можно найти точку, в которой появляется вентильный эффект однонаправленной проводимости. Но обратное напряжение, которое такой примитивный точечный диод может выдержать, невелико.