2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тригонометрическая сумма
Сообщение15.08.2024, 17:56 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
Для нечетного $N$ докажите равенство $$\sum_{j=1}^{N-1}\sin{\frac{\pi j^2}{N}}\ctg{\frac{\pi j}{N}}=\frac{N-1}{2}.$$
Комментарий. Здесь есть по крайней мере два пути решения --- короткий и длинный. Длинный я придумал сам, а короткий мне показали уже потом. Впрочем, оба пути стартуют с одного и того же тождества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическая сумма
Сообщение22.08.2024, 16:25 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
Те же методы, что и в topic137947.html и topic142895.html ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическая сумма
Сообщение22.08.2024, 17:27 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
maxal
Нет, там стандартные суммы, а здесь экзотика из-за $j^2$, как бы намекающая на суммы Гаусса, но на самом деле к ним не имеющая отношения. Как я ни старался, обобщить никак не получилось. Просто какое-то странное тождество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическая сумма
Сообщение22.08.2024, 17:46 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
Сходу получилось так:
Используя то же тождество для котангенса, переписываем сумму в виду
$$\frac1N \sum_{j=1}^{N-1} \sum_{k=1}^{N-1} k\bigg( \cos\frac{\pi(j^2+2kj)}{N} - \cos\frac{\pi(j^2-2jk)}{N}\bigg)$$
Меняя порядок суммирования и заменяя одно $k$ на $N-k$ получаем
$$\frac1N \sum_{k=1}^{N-1} \sum_{j=1}^{N-1}  \bigg( k \cos\frac{\pi(j^2+2kj)}{N} - (N-k)\cos\frac{\pi(j^2+2kj)}{N}\bigg) = \frac1N \sum_{k=1}^{N-1} (2k-N) \sum_{j=1}^{N-1} \cos\frac{\pi(j^2+2kj)}{N}.$$
А внутренняя сумма по сути и есть действительная часть (обобщенной) квадратичной сумма Гаусса, ну или можно явно свести к классической, выделив полный квадрат: $j^2+2kj=(j+k)^2-k^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическая сумма
Сообщение22.08.2024, 18:27 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
Однако, неожиданно... Но не понимаю, куда девается $\sqrt{N}$, ведь эта штука присутствует в выражении для гауссовой суммы. Хотя, возможно, при суммировании по $k$ исчезает. Если так, то это еще один способ доказательства тождества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическая сумма
Сообщение22.08.2024, 20:46 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
nnosipov в сообщении #1651070 писал(а):
Однако, неожиданно... Но не понимаю, куда девается $\sqrt{N}$, ведь эта штука присутствует в выражении для гауссовой суммы.

Как я понимаю, после сворачивания внутренней суммы, внешняя тоже становится Гауссовой и два корешка из $N$ перемножаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическая сумма
Сообщение23.08.2024, 09:52 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
maxal
Что-то я туплю, но я не понимаю, как свести сумму $$\sum_{j=0}^{N-1} \cos\frac{\pi(j^2+2kj)}{N}\quad (*)$$ к сумме Гаусса. (Это было бы очевидно, если бы вместо $\pi$ было $2\pi$, но там именно $\pi$.) Вот сумма $$\sum_{j=0}^{2N-1} \cos\frac{2\pi(j^2+2kj)}{2N}=\sum_{j=0}^{2N-1} \cos\frac{\pi(j^2+2kj)}{N}$$ является гауссовой, но она тождественно равна нулю (у нас $N$ нечетно) и это ничего не дает для вычисления $(*)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическая сумма
Сообщение26.08.2024, 04:09 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
Да, "половинчатая" сумма получается. Сталкивался с подобной (но не квадратичной) в topic4600.html
Возможно и здесь можно к "полной" сумме свести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическая сумма
Сообщение26.08.2024, 08:18 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
Спасибо за ссылку, я эту тему раньше не видел. Будем думать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическая сумма
Сообщение31.08.2024, 07:43 
Заслуженный участник


20/12/10
9042
maxal в сообщении #1651566 писал(а):
Сталкивался с подобной (но не квадратичной) в topic4600.html
Похоже, там просто повезло (см. мой комментарий). Есть статья Bruce C. Berndt and Ronald J. Evans, Half Gauss Sums, Math. Ann. 249, t 15-125 (1980) с релевантным названием, но содержание надо еще изучать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihiv, ИСН


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group