2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Замыкание выпуклого множества выпукло
Сообщение20.08.2024, 13:47 


03/01/24
7
Всем доброго времени суток!
Прорешиваю сборник Виро "Элементарная топология".
Столкнулся со следующей задачей:
Цитата:
Докажите, что замыкание (внутренность) выпуклого множества в $R^n$ выпукло.

Не знаю, как подступиться к этому факту.
Предполагаю, что он верен для любых нормированных пространств.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замыкание выпуклого множества выпукло
Сообщение20.08.2024, 13:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
Множество выпукло, если вместе с точками $x, y$ оно содержит любую их выпуклую линейную комбинацию $\alpha x + (1 - \alpha) y$.
Пусть $x_n \to x$, $y_n \to y$. Пусть $z$ - выпуклая линейная комбинация $x$ и $y$. Постройте последовательность $z_n$ выпуклых линейных комбинаций $x_n, y_n$, сходящуюся к $z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замыкание выпуклого множества выпукло
Сообщение20.08.2024, 14:05 


21/12/16
721
Mikhail_2000 в сообщении #1650820 писал(а):
Предполагаю, что он верен для любых нормированных пространств.

и даже для локально выпуклых

 Профиль  
                  
 
 Re: Замыкание выпуклого множества выпукло
Сообщение20.08.2024, 20:06 


03/01/24
7
Cl(A) := замыкание
Вышло только так
1)Cl(A) - компакт.
$\Rightarrow$ к любой точке из Cl(A) можно построить сходящуюся последовательность из точек А. И, наоборот, любая последовательность точек из А сходится к точке в Cl(А).
2)Тогда для $\forall$ точек x, y из Сl(А) зафиксируем $\alpha$. Строим последовательности $\{x_n\},\{y_n\}$ из точек А. По этим последовательностям получаем последовательность $z_n$, где $z_n\in A$ т.к А выпуклое.
3) Дальше $z_n \to z_\alpha$ Где $z_\alpha \in A$ (по 1)) и $z_\alpha = x \cdot (1-\alpha)+\alpha \cdot y$ (По построению)
4) В итоге, любые х, y можем соединить отрезком выбирая $\alpha$ от 0 до 1.

Но А не обязано быть компактом.
Как переделать п1?
И в добавок в учебнике понятие предела почти не затрагивается. (А определение дается только через 1.5 главы.)
Из определений пределов еще видел предел по базе в Зориче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замыкание выпуклого множества выпукло
Сообщение20.08.2024, 20:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
А как определяется замыкание?
Mikhail_2000 в сообщении #1650888 писал(а):
к любой точке из Cl(A) можно построить сходящуюся последовательность из точек А
Для этого компактность не нужна, это свойство замыкания.
Mikhail_2000 в сообщении #1650888 писал(а):
И, наоборот, любая последовательность точек из А сходится к точке в Cl(А)
Вам достаточно более слабого: любая сходящаяся последовательность точек из $A$ сходится к точке из $\operatorname{Cl}(A)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замыкание выпуклого множества выпукло
Сообщение20.08.2024, 20:26 


03/01/24
7
Из учебника смог доказать эквивалентность:
Замыкание А Cl(A) := Минимальное замкнутое множество по включению содержащее А
$\Longleftrightarrow$
Пересечение всех замкнутых множеств содержащих А
$\Longleftrightarrow$
Множество всех точек прикосновения (Любая окрестность пересекается с А)

Множество А замкнуто $\Longleftrightarrow$ $A = Cl(a)$
$Cl(A) = Int(A) \cup Frontier(A)$
Множество А замкнуто $\Longleftrightarrow$ содержит все свои предельные точки (x - предельная для А := любая окрестность x пересекается с $A\setminus x$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Замыкание выпуклого множества выпукло
Сообщение20.08.2024, 21:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
А хотя бы известно, что окрестность точки содержит открытый шар с центром в этой точке?
Если да, то почти всё то же самое: возьмите $z = \alpha x + (1 - \alpha y)$, возьмите $x', y' \in A$ из $\varepsilon$-окрестностей $x$ и $y$, возьмите соответствующую их линейную комбинацию - так можно для любой окрестности $z$ получить точку из этой окрестности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замыкание выпуклого множества выпукло
Сообщение20.08.2024, 21:30 


03/01/24
7
mihaild в сообщении #1650896 писал(а):
А хотя бы известно, что окрестность точки содержит открытый шар с центром в этой точке?
Если да, то почти всё то же самое: возьмите $z = \alpha x + (1 - \alpha y)$, возьмите $x', y' \in A$ из $\varepsilon$-окрестностей $x$ и $y$, возьмите соответствующую их линейную комбинацию - так можно для любой окрестности $z$ получить точку из этой окрестности.

Вероятно не в точности понял, но можно так:
Соединить $x, y$ отрезком и пересечь с $\varepsilon$ сферами точек $x, y$ (Пересечение найдется в силу нормированного пространства). Получили $x_2, y_2 \subset A$.
Подкрутить $\alpha$ и получить искомый $z$.
Для внутренности А поступаем точно так же.

Еще понял, что свойство
Mikhail_2000 в сообщении #1650893 писал(а):
Множество А замкнуто $\Longleftrightarrow$ содержит все свои предельные точки (x - предельная для А := любая окрестность x пересекается с $A\setminus x$)

Эквивалентно "Любая сходящаяся последовательность состоящая из точек А имеет предел в А".

Построить же нетождественную последовательность сходящуюся к точке x из А можно так: рассмотрим все окрестности $O_\lambda (x)$ точки x и в каждой выберем точку $x_i \in \bigcap\limits_{}^{n} O_\lambda (x) \cap A$

И в обратную сторону, если все последовательности сходятся в А, то А содержит все свои предельные точки => А замкнуто.

-- 20.08.2024, 21:31 --

mihaild в сообщении #1650896 писал(а):
А хотя бы известно, что окрестность точки содержит открытый шар с центром в этой точке?

Да.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group