Замыкание выпуклого множества выпукло

[Mikhail_2000]

Всем доброго времени суток!
Прорешиваю сборник Виро "Элементарная топология".
Столкнулся со следующей задачей:

Цитата:

Докажите, что замыкание (внутренность) выпуклого множества в $R^n$ выпукло.

Не знаю, как подступиться к этому факту.
Предполагаю, что он верен для любых нормированных пространств.

[mihaild]

Множество выпукло, если вместе с точками $x, y$ оно содержит любую их выпуклую линейную комбинацию $\alpha x + (1 - \alpha) y$.
Пусть $x_n \to x$, $y_n \to y$. Пусть $z$ - выпуклая линейная комбинация $x$ и $y$. Постройте последовательность $z_n$ выпуклых линейных комбинаций $x_n, y_n$, сходящуюся к $z$.

[drzewo]

Mikhail_2000 в сообщении #1650820 писал(а):

Предполагаю, что он верен для любых нормированных пространств.

и даже для локально выпуклых

[Mikhail_2000]

Cl(A) := замыкание
Вышло только так
1)Cl(A) - компакт.
$\Rightarrow$ к любой точке из Cl(A) можно построить сходящуюся последовательность из точек А. И, наоборот, любая последовательность точек из А сходится к точке в Cl(А).
2)Тогда для $\forall$ точек x, y из Сl(А) зафиксируем $\alpha$. Строим последовательности $\{x_n\},\{y_n\}$ из точек А. По этим последовательностям получаем последовательность $z_n$, где $z_n\in A$ т.к А выпуклое.
3) Дальше $z_n \to z_\alpha$ Где $z_\alpha \in A$ (по 1)) и $z_\alpha = x \cdot (1-\alpha)+\alpha \cdot y$ (По построению)
4) В итоге, любые х, y можем соединить отрезком выбирая $\alpha$ от 0 до 1.

Но А не обязано быть компактом.
Как переделать п1?
И в добавок в учебнике понятие предела почти не затрагивается. (А определение дается только через 1.5 главы.)
Из определений пределов еще видел предел по базе в Зориче.

[mihaild]

А как определяется замыкание?

Mikhail_2000 в сообщении #1650888 писал(а):

к любой точке из Cl(A) можно построить сходящуюся последовательность из точек А

Для этого компактность не нужна, это свойство замыкания.

Mikhail_2000 в сообщении #1650888 писал(а):

И, наоборот, любая последовательность точек из А сходится к точке в Cl(А)

Вам достаточно более слабого: любая сходящаяся последовательность точек из $A$ сходится к точке из $\operatorname{Cl}(A)$.

[Mikhail_2000]

Из учебника смог доказать эквивалентность:
Замыкание А Cl(A) := Минимальное замкнутое множество по включению содержащее А
$\Longleftrightarrow$
Пересечение всех замкнутых множеств содержащих А
$\Longleftrightarrow$
Множество всех точек прикосновения (Любая окрестность пересекается с А)

Множество А замкнуто $\Longleftrightarrow$ $A = Cl(a)$
$Cl(A) = Int(A) \cup Frontier(A)$
Множество А замкнуто $\Longleftrightarrow$ содержит все свои предельные точки (x - предельная для А := любая окрестность x пересекается с $A\setminus x$)

[mihaild]

А хотя бы известно, что окрестность точки содержит открытый шар с центром в этой точке?
Если да, то почти всё то же самое: возьмите $z = \alpha x + (1 - \alpha y)$, возьмите $x', y' \in A$ из $\varepsilon$-окрестностей $x$ и $y$, возьмите соответствующую их линейную комбинацию - так можно для любой окрестности $z$ получить точку из этой окрестности.

[Mikhail_2000]

mihaild в сообщении #1650896 писал(а):

А хотя бы известно, что окрестность точки содержит открытый шар с центром в этой точке?
Если да, то почти всё то же самое: возьмите $z = \alpha x + (1 - \alpha y)$, возьмите $x', y' \in A$ из $\varepsilon$-окрестностей $x$ и $y$, возьмите соответствующую их линейную комбинацию - так можно для любой окрестности $z$ получить точку из этой окрестности.

Вероятно не в точности понял, но можно так:
Соединить $x, y$ отрезком и пересечь с $\varepsilon$ сферами точек $x, y$ (Пересечение найдется в силу нормированного пространства). Получили $x_2, y_2 \subset A$.
Подкрутить $\alpha$ и получить искомый $z$.
Для внутренности А поступаем точно так же.

Еще понял, что свойство

Mikhail_2000 в сообщении #1650893 писал(а):

Множество А замкнуто $\Longleftrightarrow$ содержит все свои предельные точки (x - предельная для А := любая окрестность x пересекается с $A\setminus x$)

Эквивалентно "Любая сходящаяся последовательность состоящая из точек А имеет предел в А".

Построить же нетождественную последовательность сходящуюся к точке x из А можно так: рассмотрим все окрестности $O_\lambda (x)$ точки x и в каждой выберем точку $x_i \in \bigcap\limits_{}^{n} O_\lambda (x) \cap A$

И в обратную сторону, если все последовательности сходятся в А, то А содержит все свои предельные точки => А замкнуто.

-- 20.08.2024, 21:31 --

mihaild в сообщении #1650896 писал(а):

А хотя бы известно, что окрестность точки содержит открытый шар с центром в этой точке?

Да.