А хотя бы известно, что окрестность точки содержит открытый шар с центром в этой точке?
Если да, то почти всё то же самое: возьмите
, возьмите
из
-окрестностей
и
, возьмите соответствующую их линейную комбинацию - так можно для любой окрестности
получить точку из этой окрестности.
Вероятно не в точности понял, но можно так:
Соединить
отрезком и пересечь с
сферами точек
(Пересечение найдется в силу нормированного пространства). Получили
.
Подкрутить
и получить искомый
.
Для внутренности А поступаем точно так же.
Еще понял, что свойство
Множество А замкнуто
содержит все свои предельные точки (x - предельная для А := любая окрестность x пересекается с
)
Эквивалентно "Любая
сходящаяся последовательность состоящая из точек А имеет предел в А".
Построить же нетождественную последовательность сходящуюся к точке x из А можно так: рассмотрим все окрестности
точки x и в каждой выберем точку
И в обратную сторону, если все последовательности сходятся в А, то А содержит все свои предельные точки => А замкнуто.
-- 20.08.2024, 21:31 --А хотя бы известно, что окрестность точки содержит открытый шар с центром в этой точке?
Да.