Решаю тут задачу 4.12, там доказательства на индукцию. Не пойму, что делаю не так. В этой ветке этой задачи не было, так что думаю не будет лишней.
Итак, интересует пункт в).
Имеем определение последовательности:
Доказать надо, что
, где
.
Решение. Для
при
и
равенство верно. Теперь шаг индукции.
Пусть для
утверждение верно. Рассмотрим
. Надо доказать, что
Ясно, что как-то надо использовать предположение индукции, для этого надо понизить порядок номеров, а это можно сделать с помощью исходного рекуррентного соотношения.
Подставим в левую часть, получим
Тут применили предположение индукции, но дальше видно, что добро не светит, потому что в правой части требуемого равенства номера больше. Понизим теперь номера в правой части.
Сравниваем то, что получилось, сокращаем одинаковые члены, делим на
, и получаем, что остается доказать равенство
И вот тут я почему-то встрял :) Буду рад, если подскажете.