Кострикин. Курс алгебры, задачник

[мат-ламер]

Sinoid в сообщении #1647575 писал(а):

Еще же нужно доказать положительность $a_{i\,i}-{\displaystyle \sum_{v=1}^{i-1}l_{i\,v}^{2}}$

Не знаю, как для этого случая:

Sinoid в сообщении #1647575 писал(а):

комплекснозначных эрмитовых матриц

А для действительных симметричных положительно определённых это так. Доказательство не помню. Может по индукции. Доказательство можно найти в книгах по вычислительным методам. Например, Тыртышников, "Методы численного анализа", пар. 7.6.

[Sinoid]

мат-ламер в сообщении #1647579 писал(а):

Sinoid в сообщении #1647575 писал(а):

Еще же нужно доказать положительность $a_{i\,i}-{\displaystyle \sum_{v=1}^{i-1}l_{i\,v}^{2}}$

Не знаю, как для этого случая:

Sinoid в сообщении #1647575 писал(а):

комплекснозначных эрмитовых матриц

А для действительных симметричных положительно определённых это так. Доказательство не помню. Может по индукции. Доказательство можно найти в книгах по вычислительным методам. Например, Тыртышников, "Методы численного анализа", пар. 7.6.

Мне почему-то кажется, что в том случае, про который говорите вы, можно через положительность главных миноров положительно определенной квадратичной формы с действительными коэффициентами.

[Sinoid]

Sinoid в сообщении #1647575 писал(а):

Еще же нужно доказать положительность $a_{i\,i}-{\displaystyle \sum_{v=1}^{i-1}l_{i\,v}^{2}}$

Ну вот в случае $n=2$ уже есть. Пусть матрица $A=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{pmatrix}$ - симметричная положительно определенная матрица с действительными коэффициентами никакое условие не забыл?. Тогда $a_{1\,1}>0$ и $\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}>0$. Далее, если $L=\begin{pmatrix}l_{1\,1} & 0\\ l_{2\,1} & l_{2\,2} \end{pmatrix}$, то $l_{2\,1}=\dfrac{a_{2\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}$ и ${\displaystyle a_{2\,2}-\sum_{p=1}^{1}l^2_{2\,p}=}$ в цитате настоящего поста, как и в формуле из этой цитате, цитируемой до этого поста, самой этой формуле, написанной мной до настоящего я почему-то индекс суммирования использовал не тот, что на странице в Вики по приведенной мной ссылке. Исправляюсь. $=a_{2\,2}-l_{2\,1}^{2}=a_{2\,2}-\dfrac{a_{2\,1}^{2}}{a_{1\,1}}=\dfrac{a_{1\,1}a_{2\,2}-a_{2\,1}^{2}}{a_{1\,1}}=\dfrac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}{a_{1\,1}}>0$.

[Sinoid]

Sinoid в сообщении #1647575 писал(а):

$A=\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1} & a_{3\,1} & \ldots & a_{n-2\,1} & a_{n-1\,1} & a_{n\,1}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{3\,2} & \ldots & a_{n-2\,2} & a_{n-1\,2} & a_{n\,2}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & \ldots & a_{n-2\,3} & a_{n-1\,3} & a_{n\,3}\\ \hdotsfor{7}\\ a_{n-2\,1} & a_{n-2\,2} & a_{n-2\,3} & \ldots & a_{n-2\,n-2} & a_{n-1\,n-2} & a_{n\,n-2}\\ a_{n-1\,1} & a_{n-1\,2} & a_{n-1\,3} & \ldots & a_{n-1\,n-2} & a_{n-1\,n-1} & a_{n\,n-1}\\ a_{n\,1} & a_{n\,2} & a_{n\,3} & \ldots & a_{n\,n-2} & a_{n\,n-1} & a_{n\,n} \end{pmatrix}_{(n)}$, $L=\begin{pmatrix}l_{1\,1} & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ l_{2\,1} & l_{2\,2} & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ l_{3\,1} & l_{3\,2} & l_{3\,3} & \ldots & 0 & 0 & 0\\ \hdotsfor{7}\\ l_{n-2\,1} & l_{n-2\,2} & l_{n-2\,3} & \ldots & l_{n-2\,n-2} & 0 & 0\\ l_{n-1\,1} & l_{n-1\,2} & l_{n-1\,3} & \ldots & l_{n-1\,n-2} & l_{n-1\,n-1} & 0\\ l_{n\,1} & l_{n\,2} & l_{n\,3} & \ldots & l_{n\,n-2} & l_{n\,n-1} & l_{n\,n} \end{pmatrix}_{(n)}$, $L^{t}=\begin{pmatrix}l_{1\,1} & l_{2\,1} & l_{3\,1} & \ldots & l_{n-2\,1} & l_{n-1\,1} & l_{n\,1}\\ 0 & l_{2\,2} & l_{3\,2} & \ldots & l_{n-2\,2} & l_{n-1\,2} & l_{n\,2}\\ 0 & 0 & l_{3\,3} & \ldots & l_{n-2\,3} & l_{n-1\,3} & l_{n\,3}\\ \hdotsfor{7}\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & l_{n-2\,n-2} & l_{n-1\,n-2} & l_{n\,n-2}\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & l_{n-1\,n-2} & l_{n-1\,n-1} & l_{n\,n-1}\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & l_{n\,n-2} & l_{n\,n-1} & l_{n\,n} \end{pmatrix}_{(n)}$, $\begin{pmatrix}l_{1\,1} & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ l_{2\,1} & l_{2\,2} & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ l_{3\,1} & l_{3\,2} & l_{3\,3} & \ldots & 0 & 0 & 0\\ \hdotsfor{7}\\ l_{n-2\,1} & l_{n-2\,2} & l_{n-2\,3} & \ldots & l_{n-2\,n-2} & 0 & 0\\ l_{n-1\,1} & l_{n-1\,2} & l_{n-1\,3} & \ldots & l_{n-1\,n-2} & l_{n-1\,n-1} & 0\\ l_{n\,1} & l_{n\,2} & l_{n\,3} & \ldots & l_{n\,n-2} & l_{n\,n-1} & l_{n\,n} \end{pmatrix}_{(n)}\cdot$

$\begin{pmatrix}l_{1\,1} & l_{2\,1} & l_{3\,1} & \ldots & l_{n-2\,1} & l_{n-1\,1} & l_{n\,1}\\ 0 & l_{2\,2} & l_{3\,2} & \ldots & l_{n-2\,2} & l_{n-1\,2} & l_{n\,2}\\ 0 & 0 & l_{3\,3} & \ldots & l_{n-2\,3} & l_{n-1\,3} & l_{n\,3}\\ \hdotsfor{7}\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & l_{n-2\,n-2} & l_{n-1\,n-2} & l_{n\,n-2}\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & l_{n-1\,n-2} & l_{n-1\,n-1} & l_{n\,n-1}\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & l_{n\,n-2} & l_{n\,n-1} & l_{n\,n} \end{pmatrix}_{(n)}=$

$\begin{pmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1} & a_{3\,1} & \ldots & a_{n-2\,1} & a_{n-1\,1} & a_{n\,1}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} & a_{3\,2} & \ldots & a_{n-2\,2} & a_{n-1\,2} & a_{n\,2}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} & a_{3\,3} & \ldots & a_{n-2\,3} & a_{n-1\,3} & a_{n\,3}\\ \hdotsfor{7}\\ a_{n-2\,1} & a_{n-2\,2} & a_{n-2\,3} & \ldots & a_{n-2\,n-2} & a_{n-1\,n-2} & a_{n\,n-2}\\ a_{n-1\,1} & a_{n-1\,2} & a_{n-1\,3} & \ldots & a_{n-1\,n-2} & a_{n-1\,n-1} & a_{n\,n-1}\\ a_{n\,1} & a_{n\,2} & a_{n\,3} & \ldots & a_{n\,n-2} & a_{n\,n-1} & a_{n\,n} \end{pmatrix}_{(n)}$
$l_{1\,1}^{2}=a_{1\,1}$, $l_{1\,1}=\sqrt{a_{1\,1}}$, а при $j\in\left[2,\ldots,n\right]$

$\begin{equation} l_{j\,1}l_{1\,1}=a_{j\,1} \end{equation}$

‚ откуда $l_{j\,1}=\dfrac{a_{j\,1}}{l_{1\,1}}$.

В силу последней формулы: $\left\{ \begin{matrix}l_{1\,1} & = & \sqrt{a_{1\,1}}\\ l_{2\,1} & = & \dfrac{a_{2\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}\\ l_{3\,1} & = & \dfrac{a_{3\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}\\ l_{4\,1} & = & \dfrac{a_{4\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}\\ l_{5\,1} & = & \dfrac{a_{5\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}\\ \hdotsfor{3}\\ l_{n-4\,1} & = & \dfrac{a_{n-4\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}\\ l_{n-3\,1} & = & \dfrac{a_{n-3\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}\\ l_{n-2\,1} & = & \dfrac{a_{n-2\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}\\ l_{n-1\,1} & = & \dfrac{a_{n-1\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}\\ l_{n\,1} & = & \dfrac{a_{n\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}} \end{matrix}\right.$. Проверьте, пжл, выкладки дальше: $\begin{matrix}l_{2\,1}^{2}+l_{2\,2}^{2}=a_{2\,2},\,\,l_{2\,2}=\sqrt{a_{2\,2}-\dfrac{a_{2\,1}^{2}}{a_{1\,1}}}=\sqrt{\dfrac{a_{1\,1}a_{2\,2}-a_{2\,1}^{2}}{a_{1\,1}}}=\sqrt{\dfrac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}{a_{1\,1}}},\\ l_{3\,1}l_{2\,1}+l_{3\,2}l_{2\,2}=a_{3\,2},\,\,l_{3\,2}=\dfrac{a_{3\,2}-l_{2\,1}l_{3\,1}}{l_{2\,2}}=\dfrac{a_{3\,2}-\dfrac{a_{2\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}\cdot\dfrac{a_{3\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}}}}{\sqrt{\dfrac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}{a_{1\,1}}}}=\\ \dfrac{a_{1\,1}a_{3\,2}-a_{2\,1}a_{3\,1}}{\sqrt{a_{1\,1}\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}}\,\,l_{3\,2}=\dfrac{\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1}\\ a_{3\,1} & a_{3\,2} \end{vmatrix}}{\sqrt{a_{1\,1}\begin{vmatrix}a_{1\,1} & a_{2\,1}\\ a_{2\,1} & a_{2\,2} \end{vmatrix}}} \end{matrix}$
Пока все. Скажите, пжл, вот до этого места все верно?

[мат-ламер]

Sinoid в сообщении #1650383 писал(а):

Пока все. Скажите, пжл, вот до этого места все верно?

В виду отсутствия времени пока посоветую сделать следующее. Возьмите произвольную нижнетреугольную матрицу, но с положительными элементами на диагонали. Умножьте её на симметричную к ней. Далее попробуйте применить к полученной матрице ваш алгоритм. Выйдите ли вы к исходной матрице?

[Sinoid]

мат-ламер в сообщении #1650428 писал(а):

Sinoid в сообщении #1650383 писал(а):

Пока все. Скажите, пжл, вот до этого места все верно?

В виду отсутствия времени пока посоветую сделать следующее. Возьмите произвольную нижнетреугольную матрицу, но с положительными элементами на диагонали. Умножьте её на симметричную к ней. Далее попробуйте применить к полученной матрице ваш алгоритм. Выйдите ли вы к исходной матрице?

Да у меня тоже в голове есть подобный вариант. Просто не очень хочется в очередной раз устраивать Сталинград.

[мат-ламер]

Sinoid в сообщении #1650383 писал(а):

Пока все. Скажите, пжл, вот до этого места все верно?

Вроде верно. По крайней мере, у меня получилось так же. Нет необходимости выражать $l_{ij}$ сугубо через $a_{ij}$ . Проще в формулах использовать ранее найденные $l_{ij}$ . По крайней мере, при написании программ используют такой подход (также и в учебниках по вычислительной математике).

[Alexzord]

Решаю тут задачу 4.12, там доказательства на индукцию. Не пойму, что делаю не так. В этой ветке этой задачи не было, так что думаю не будет лишней.

Итак, интересует пункт в).
Имеем определение последовательности:

$$u_0(t) = 0, \quad u_1(t) = 1, \quad u_n(t) = tu_{n-1}(t) - u_{n-2}(t)$$

Доказать надо, что $u_n(t)^2-u_k(t)^2 = u_{n-k}(t)u_{n+k}(t)$, где $k=0,1,\cdots,n$.

Решение. Для $n = 1$ при $k=0$ и $k=1$ равенство верно. Теперь шаг индукции.

Пусть для $n = m$ утверждение верно. Рассмотрим $n=m+1$. Надо доказать, что

$$u_{m+1}(t)^2-u_{k}(t)^2 = u_{m+1-k}(t)u_{m+1+k}(t).$$

Ясно, что как-то надо использовать предположение индукции, для этого надо понизить порядок номеров, а это можно сделать с помощью исходного рекуррентного соотношения.

$$u_{m+1} = tu_m-u_{m-1}$$

Подставим в левую часть, получим

$$t^2 u_m^2 - 2tu_m u_{m-1} +u_{m-1}^2-u_k^2 = t^2 u_m^2 - 2tu_m u_{m-1} + u_{m-1+k}u_{m-1-k}$$

Тут применили предположение индукции, но дальше видно, что добро не светит, потому что в правой части требуемого равенства номера больше. Понизим теперь номера в правой части.

$$\begin{align} &&u_{m+1-k}u_{m+1+k} = (tu_{m-k}-u_{m-k-1})(tu_{m+k}-u_{m+k-1}) = \\ && =t^2u_{m-k}u_{m+k}-tu_{m-k}u_{m+k-1}-tu_{m-k-1}u_{m+k}+u_{m-k-1}u_{m+k-1}=\\ && = t^2 u_m^2 - tu_{m-k}u_{m+k-1}-tu_{m-k-1}u_{m+k}+u_{m-k-1}u_{m+k-1}\end{align}$$

Сравниваем то, что получилось, сокращаем одинаковые члены, делим на $t$, и получаем, что остается доказать равенство

$$- 2u_m u_{m-1} = - u_{m-k}u_{m+k-1}-u_{m-k-1}u_{m+k}$$

И вот тут я почему-то встрял :) Буду рад, если подскажете.

[Alexzord]

Alexzord в сообщении #1651307 писал(а):

Решаю тут задачу 4.12, там доказательства на индукцию. Не пойму, что делаю не так.

Понял. Надо было использовать 4.12(б), в котором я доказал, что для $t = 2\cos \theta$ верно, что $u_n(t) = \frac{\sin n\theta}{\sin \theta}$. Для таких $t$ утверждение в пункте в) доказывается просто тригонометрическими формулами, а дальше нужно сказать, что у нас рассматриваются многочлены, а значит, равенство на каком-то промежутке влечет равенство их везде.

[nnosipov]

Alexzord
Мне хотелось Вам намекнуть, что тождество легко доказывается с помощью явных формул, но я подумал, что Вы хотели именно по индукции, а это несколько скучно. Кстати, вот эти $u_n(t)$ --- это знаменитые многочлены Чебышева (2-го рода).