Решаю тут задачу 4.12, там доказательства на индукцию. Не пойму, что делаю не так. В этой ветке этой задачи не было, так что думаю не будет лишней.
Итак, интересует пункт в).
Имеем определение последовательности:
![$$u_0(t) = 0, \quad u_1(t) = 1, \quad u_n(t) = tu_{n-1}(t) - u_{n-2}(t)$$ $$u_0(t) = 0, \quad u_1(t) = 1, \quad u_n(t) = tu_{n-1}(t) - u_{n-2}(t)$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/a/0ea341b2ad688e94ac098c2cbf3da8ff82.png)
Доказать надо, что
![$u_n(t)^2-u_k(t)^2 = u_{n-k}(t)u_{n+k}(t)$ $u_n(t)^2-u_k(t)^2 = u_{n-k}(t)u_{n+k}(t)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/f/0cfc49e1bf5b854c2b95fc6dacc5144082.png)
, где
![$k=0,1,\cdots,n$ $k=0,1,\cdots,n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/d/ded70ee39f9e39ea997a2bc07773bbbd82.png)
.
Решение. Для
![$n = 1$ $n = 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/3/e1358fc9fbfa5b82243d29c7f4a7bbb282.png)
при
![$k=0$ $k=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/f/8df03261b67972f1573d96bd4fcb462e82.png)
и
![$k=1$ $k=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/b/7eb22be4bf74527b54b6d6093847814782.png)
равенство верно. Теперь шаг индукции.
Пусть для
![$n = m$ $n = m$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/0/64073f438710fea932e45dcb602514f582.png)
утверждение верно. Рассмотрим
![$n=m+1$ $n=m+1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/c/65c80867055436cadef126ba0a37f04882.png)
. Надо доказать, что
![$$u_{m+1}(t)^2-u_{k}(t)^2 = u_{m+1-k}(t)u_{m+1+k}(t).$$ $$u_{m+1}(t)^2-u_{k}(t)^2 = u_{m+1-k}(t)u_{m+1+k}(t).$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/f/58f7342b64863ddd45e013a826e10f5982.png)
Ясно, что как-то надо использовать предположение индукции, для этого надо понизить порядок номеров, а это можно сделать с помощью исходного рекуррентного соотношения.
![$$u_{m+1} = tu_m-u_{m-1}$$ $$u_{m+1} = tu_m-u_{m-1}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/7/cd719263277dec0d510757b7d82c12c682.png)
Подставим в левую часть, получим
![$$t^2 u_m^2 - 2tu_m u_{m-1} +u_{m-1}^2-u_k^2 = t^2 u_m^2 - 2tu_m u_{m-1} + u_{m-1+k}u_{m-1-k}$$ $$t^2 u_m^2 - 2tu_m u_{m-1} +u_{m-1}^2-u_k^2 = t^2 u_m^2 - 2tu_m u_{m-1} + u_{m-1+k}u_{m-1-k}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/e/76e360642d2c3c57b51dff7440ef575882.png)
Тут применили предположение индукции, но дальше видно, что добро не светит, потому что в правой части требуемого равенства номера больше. Понизим теперь номера в правой части.
![$$\begin{align} &&u_{m+1-k}u_{m+1+k} = (tu_{m-k}-u_{m-k-1})(tu_{m+k}-u_{m+k-1}) = \\
&& =t^2u_{m-k}u_{m+k}-tu_{m-k}u_{m+k-1}-tu_{m-k-1}u_{m+k}+u_{m-k-1}u_{m+k-1}=\\
&& = t^2 u_m^2 - tu_{m-k}u_{m+k-1}-tu_{m-k-1}u_{m+k}+u_{m-k-1}u_{m+k-1}\end{align}$$ $$\begin{align} &&u_{m+1-k}u_{m+1+k} = (tu_{m-k}-u_{m-k-1})(tu_{m+k}-u_{m+k-1}) = \\
&& =t^2u_{m-k}u_{m+k}-tu_{m-k}u_{m+k-1}-tu_{m-k-1}u_{m+k}+u_{m-k-1}u_{m+k-1}=\\
&& = t^2 u_m^2 - tu_{m-k}u_{m+k-1}-tu_{m-k-1}u_{m+k}+u_{m-k-1}u_{m+k-1}\end{align}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/c/e8c2977e9512cf1132ad81f0dc01974a82.png)
Сравниваем то, что получилось, сокращаем одинаковые члены, делим на
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
, и получаем, что остается доказать равенство
![$$- 2u_m u_{m-1} = - u_{m-k}u_{m+k-1}-u_{m-k-1}u_{m+k}$$ $$- 2u_m u_{m-1} = - u_{m-k}u_{m+k-1}-u_{m-k-1}u_{m+k}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/c/acce4a7844e6b5002e927201f922df3f82.png)
И вот тут я почему-то встрял :) Буду рад, если подскажете.