2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Система образующих конечной абелевой группы
Сообщение14.08.2024, 01:17 


26/02/24
10
На данном изображении описывается вычисление числа способов выбрать $(a, b), (c, d)$, которые будут порождать группу $G \cong \mathbb{Z}_{pq}$, где $p, q $ - нечётные различные простые числа и $p < q$. Понятно, что группа циклическая, значит, на самом деле, мощность минимального порождающего множества равна 1, но в данной статье рассматриваются именно пары, которые могут породить группу. Возник вопрос в 2-х местах данного доказательства:
1) Каким образом получается первое значение $(p-1)^2q$ для $(a,b)$?
2) Почему написано, что при выбранной паре $(a, b)$ число способов для $(c, d)$ равняется $(q-1)^2p$, но в последних строках эти способы складываются, а не перемножаются?

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Система образующих конечной абелевой группы
Сообщение14.08.2024, 08:49 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Множество множеств образующих (в том числе пары образующих) группы распадается на классы эквивалентности относительно автоморфизмов этой группы. Для циклической группы $\mathbb{Z}_{pq}$ число классов эквивалентности одной образующей равно 1, число элементов в классе будет равно порядку группы автоморфизмов и равно $\varphi(pq)=(p-1)(q-1)$ (здесь фи — это функция Эйлера — число взаимно простых с аргументом чисел, меньших аргумента). Для пар образующих размер классов эквивалентности тот же самый, то есть результат должен делиться на величину выше. Величина в статье в скобках после одной второй после упрощения равна $$(pq-1)^2-(p-1)(q-1)$$ и не делится на порядок группы автоморфизмов. Либо я что-то не понял, либо в статье криво посчитали.

-- 14.08.2024, 09:03 --

Рассмотрим на примере. Для группы $$\left(\mathbb{Z}_{15}\right)^+$$ числа 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13 и 14 взаимно просты с 15 и каждое может быть взято как одна образующая группы. Их количество: $$\left|\mathrm{Aut}\left(\mathbb{Z}_{15}\right)\right|=\varphi(15)=\varphi(3)\varphi(5)=2\cdot4=8$$ Число 0 — нейтральный элемент группы. Числа 3, 6, 9 и 12 имеют с порядком НОД, равный 3, и отдельно как образующие выступать не могут. То же самое с числами 5 и 10, их НОД с порядком равен 5. За то если взять их в паре, по одному числу из каждой группы, то получается порождающее множество всей группы (замыкание объедения подгрупп $\mathbb{Z}_3$ и $\mathbb{Z}_5$ даёт всю группу $\mathbb{Z}_{15}$). Этих пар ровно 8 штук (что равно $(p-1)(q-1)$, один класс).

Возможно, в статье считались не только наборы образующих, из которых нельзя выкинуть одну образующую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система образующих конечной абелевой группы
Сообщение14.08.2024, 09:36 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
B@R5uk в сообщении #1649917 писал(а):
Величина в статье в скобках после одной второй после упрощения равна $$(pq-1)^2-(p-1)(q-1)$$
У меня получилось $$(p-1)^2q+(q-1)^2p+(pq-2)(pq-p-q+1)=-5pq+3q+3p+p^2q^2-2,$$ что не равно $(pq-1)^2-(p-1)(q-1)$. А количество упорядоченных пар образующих в $\mathbb{Z}_{pq}$ у меня такое: $(p^2-1)(q^2-1)$. Как следствие, количество неупорядоченных пар образующих равно $$\frac{(p^2-1)(q^2-1)-(p-1)(q-1)}{2}.$$В общем, что считается в статье --- загадка.

-- Ср авг 14, 2024 13:45:25 --

B@R5uk
а что Вы называете образующей? То, что порождает группу (образующая=порождающая)? Или что-то другое? Выше я считал пары порождающих.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система образующих конечной абелевой группы
Сообщение14.08.2024, 10:09 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
nnosipov, спасибо что поправили. Что-то я криво квадраты разностей раскрыл. После упрощения получается так (проверка): $$(pq + p + q - 4)(p - 1)(q - 1) + (p - 1)^2 + (q - 1)^2$$ Всё равно не делится на $(p - 1)(q - 1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система образующих конечной абелевой группы
Сообщение14.08.2024, 10:52 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
B@R5uk в сообщении #1649917 писал(а):
Возможно, в статье считались не только наборы образующих, из которых нельзя выкинуть одну образующую.

Конечно, там считали все образующие. Мне вычисление из статьи тоже что-то непонятно. По идее, должно быть $2 p q (p - 1) (q - 1) - (p - 1)^2 (q - 1)^2 + 2 (p - 1) (q - 1) = (p + 1) (q + 1) (p - 1) (q - 1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система образующих конечной абелевой группы
Сообщение16.08.2024, 01:35 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
Авторы этого текста говорят об обратной матрице применительно к матрице, у которой одне элементы из $Z_p$ , а другие, внезапно, из $Z_q$. Вот так вот лихо. Да и вообще чушь какая-то написана. К тому же там и в английском некоторое количество ошибок. В общем, я думаю, что место этого текста в помойке. (Интересно, из какой пещеры страны аффтары ?).

 Профиль  
                  
 
 Re: Система образующих конечной абелевой группы
Сообщение16.08.2024, 07:54 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Они ещё скобки не правильно раскрыли. В заголовке $$p^2q^2-p^2-q^2-3pq+3q+3p-2$$ а должно быть $$p^2q^2-5pq+3q+3p-2$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group