Множество множеств образующих (в том числе пары образующих) группы распадается на классы эквивалентности относительно автоморфизмов этой группы. Для циклической группы
число классов эквивалентности одной образующей равно 1, число элементов в классе будет равно порядку группы автоморфизмов и равно
(здесь фи — это функция Эйлера — число взаимно простых с аргументом чисел, меньших аргумента). Для пар образующих размер классов эквивалентности тот же самый, то есть результат должен делиться на величину выше. Величина в статье в скобках после одной второй после упрощения равна
и не делится на порядок группы автоморфизмов. Либо я что-то не понял, либо в статье криво посчитали.
-- 14.08.2024, 09:03 --Рассмотрим на примере. Для группы
числа 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13 и 14 взаимно просты с 15 и каждое может быть взято как одна образующая группы. Их количество:
Число 0 — нейтральный элемент группы. Числа 3, 6, 9 и 12 имеют с порядком НОД, равный 3, и отдельно как образующие выступать не могут. То же самое с числами 5 и 10, их НОД с порядком равен 5. За то если взять их в паре, по одному числу из каждой группы, то получается порождающее множество всей группы (замыкание объедения подгрупп
и
даёт всю группу
). Этих пар ровно 8 штук (что равно
, один класс).
Возможно, в статье считались не только наборы образующих, из которых нельзя выкинуть одну образующую.