2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Система образующих конечной абелевой группы
Сообщение14.08.2024, 01:17 


26/02/24
10
На данном изображении описывается вычисление числа способов выбрать $(a, b), (c, d)$, которые будут порождать группу $G \cong \mathbb{Z}_{pq}$, где $p, q $ - нечётные различные простые числа и $p < q$. Понятно, что группа циклическая, значит, на самом деле, мощность минимального порождающего множества равна 1, но в данной статье рассматриваются именно пары, которые могут породить группу. Возник вопрос в 2-х местах данного доказательства:
1) Каким образом получается первое значение $(p-1)^2q$ для $(a,b)$?
2) Почему написано, что при выбранной паре $(a, b)$ число способов для $(c, d)$ равняется $(q-1)^2p$, но в последних строках эти способы складываются, а не перемножаются?

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Система образующих конечной абелевой группы
Сообщение14.08.2024, 08:49 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Множество множеств образующих (в том числе пары образующих) группы распадается на классы эквивалентности относительно автоморфизмов этой группы. Для циклической группы $\mathbb{Z}_{pq}$ число классов эквивалентности одной образующей равно 1, число элементов в классе будет равно порядку группы автоморфизмов и равно $\varphi(pq)=(p-1)(q-1)$ (здесь фи — это функция Эйлера — число взаимно простых с аргументом чисел, меньших аргумента). Для пар образующих размер классов эквивалентности тот же самый, то есть результат должен делиться на величину выше. Величина в статье в скобках после одной второй после упрощения равна $$(pq-1)^2-(p-1)(q-1)$$ и не делится на порядок группы автоморфизмов. Либо я что-то не понял, либо в статье криво посчитали.

-- 14.08.2024, 09:03 --

Рассмотрим на примере. Для группы $$\left(\mathbb{Z}_{15}\right)^+$$ числа 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13 и 14 взаимно просты с 15 и каждое может быть взято как одна образующая группы. Их количество: $$\left|\mathrm{Aut}\left(\mathbb{Z}_{15}\right)\right|=\varphi(15)=\varphi(3)\varphi(5)=2\cdot4=8$$ Число 0 — нейтральный элемент группы. Числа 3, 6, 9 и 12 имеют с порядком НОД, равный 3, и отдельно как образующие выступать не могут. То же самое с числами 5 и 10, их НОД с порядком равен 5. За то если взять их в паре, по одному числу из каждой группы, то получается порождающее множество всей группы (замыкание объедения подгрупп $\mathbb{Z}_3$ и $\mathbb{Z}_5$ даёт всю группу $\mathbb{Z}_{15}$). Этих пар ровно 8 штук (что равно $(p-1)(q-1)$, один класс).

Возможно, в статье считались не только наборы образующих, из которых нельзя выкинуть одну образующую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система образующих конечной абелевой группы
Сообщение14.08.2024, 09:36 
Заслуженный участник


20/12/10
9050
B@R5uk в сообщении #1649917 писал(а):
Величина в статье в скобках после одной второй после упрощения равна $$(pq-1)^2-(p-1)(q-1)$$
У меня получилось $$(p-1)^2q+(q-1)^2p+(pq-2)(pq-p-q+1)=-5pq+3q+3p+p^2q^2-2,$$ что не равно $(pq-1)^2-(p-1)(q-1)$. А количество упорядоченных пар образующих в $\mathbb{Z}_{pq}$ у меня такое: $(p^2-1)(q^2-1)$. Как следствие, количество неупорядоченных пар образующих равно $$\frac{(p^2-1)(q^2-1)-(p-1)(q-1)}{2}.$$В общем, что считается в статье --- загадка.

-- Ср авг 14, 2024 13:45:25 --

B@R5uk
а что Вы называете образующей? То, что порождает группу (образующая=порождающая)? Или что-то другое? Выше я считал пары порождающих.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система образующих конечной абелевой группы
Сообщение14.08.2024, 10:09 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
nnosipov, спасибо что поправили. Что-то я криво квадраты разностей раскрыл. После упрощения получается так (проверка): $$(pq + p + q - 4)(p - 1)(q - 1) + (p - 1)^2 + (q - 1)^2$$ Всё равно не делится на $(p - 1)(q - 1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система образующих конечной абелевой группы
Сообщение14.08.2024, 10:52 
Заслуженный участник


07/08/23
1055
B@R5uk в сообщении #1649917 писал(а):
Возможно, в статье считались не только наборы образующих, из которых нельзя выкинуть одну образующую.

Конечно, там считали все образующие. Мне вычисление из статьи тоже что-то непонятно. По идее, должно быть $2 p q (p - 1) (q - 1) - (p - 1)^2 (q - 1)^2 + 2 (p - 1) (q - 1) = (p + 1) (q + 1) (p - 1) (q - 1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система образующих конечной абелевой группы
Сообщение16.08.2024, 01:35 
Заслуженный участник


18/01/15
3221
Авторы этого текста говорят об обратной матрице применительно к матрице, у которой одне элементы из $Z_p$ , а другие, внезапно, из $Z_q$. Вот так вот лихо. Да и вообще чушь какая-то написана. К тому же там и в английском некоторое количество ошибок. В общем, я думаю, что место этого текста в помойке. (Интересно, из какой пещеры страны аффтары ?).

 Профиль  
                  
 
 Re: Система образующих конечной абелевой группы
Сообщение16.08.2024, 07:54 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Они ещё скобки не правильно раскрыли. В заголовке $$p^2q^2-p^2-q^2-3pq+3q+3p-2$$ а должно быть $$p^2q^2-5pq+3q+3p-2$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group